關於數學的期末考試試卷

第Ⅰ卷 (選擇題 共50分)

一、選擇 題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中有且只有一項是符合題目要求的，把答案填在答題卡的相應位置。

1.已知平面向量 ， ，且 ，則實數 的值為

A. B. C. D.

2.設集合 ， ，若 ，則實數 的值為

A. B. C. D.

3.已知直線 平面 ,直線 ,則 是 的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

4. 定義： .若複數 滿足 ，則 等於

A. B. C. D.

5.函數 在 處的切線方程是

A. B. C. D.

6. 某程序框圖如右圖所示，現輸入如下 四個函數，

則可以輸出的函數是

A. B. C. D.

7. 若函數 的圖象(部分)如圖所示，

則 和 的取值是

A. B.

C. D.

8. 若函數 的零點與 的零點之差的絕對值不超過 ，則 可以是

A. B. C. D.

9.已知 ，若方程 存在三個不等的實根 ，則 的取值範圍是

A. B. C. D.

10.已知集合 , 。若存在實數 使得 成立,稱點 為￡點，則￡點在平面區域 內的個數是

A. 0 B.1 C .2 D. 無數個

第二卷(非選擇題共100分)

二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分. 把答案填在答題卡上.

11. 已知隨機變量 ，若 ，則 等於 ******.

12.某幾何體的三視圖如下右圖所示，則這個幾何體的體積是 ****** .

13. 已知拋物線 的準線 與雙曲線 相切，

則雙曲線 的離心率 ****** .

14.在平面直角座標系中,不等式組 所表示的平面區域的面積是9，則實數 的值為 ****** .

15. 已知不等式 ，若對任意 且 ，該不等式恆成立，則實

數 的取值範圍是 ****** .

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字説明，演算步驟或證明過程.

16.(本小題滿分13分)

在等差數列 中， ，其前 項和為 ，等比數列 的各項均為正數， ，公比為 ，且 ， .

(Ⅰ)求 與 ;

(Ⅱ)證明： .

17. (本小題滿分13分)

已知向量

(Ⅰ)求 的解析式;

(Ⅱ)求由 的`圖象、 軸的正半軸及 軸的正半軸三者 圍成圖形的面積。

18. (本小題滿分13分)圖一，平面四邊形 關於直線 對稱， ， ， .把 沿 折起(如圖二)，使二面角 的餘弦值等於 .

對於圖二，完成以下各 小題：

(Ⅰ)求 兩點間的距離;

(Ⅱ)證明： 平面 ;

(Ⅲ)求直線 與平面 所成角的正弦值.

19. (本小題滿分13分) 二十世紀50年代，日本熊本縣水俁市的許多居民都患了運動失調、四肢麻木等症狀，人們把它稱為水俁病.經調查發現一家工廠排出的廢水中含有甲基汞，使魚類受到污染.人們長期食用含高濃度甲基汞的魚類引起汞中毒. 引起世人對食品安全的關注.《中華人民共和國環境保護法》規定食品的汞含量不得超過1.00ppm.

羅非魚是體型較大，生命週期長的食肉魚，其體內汞含量比其他魚偏高.現從一批羅非魚中隨機地抽出15條作樣本，經檢測得各條魚的汞含量的莖葉圖(以小數點前一位數字為莖，小數點後一位數字為葉)如下：

(Ⅰ)若某檢查人員從這15條魚中，隨機地抽出3條，求恰有1條魚汞含量超標的概率;

(Ⅱ)以此15條魚的樣本數據.若從這批數量很大的魚中任選3條魚，記表示抽到的魚汞含量超標的條數，求的分佈列及E

20. (本小題滿分14分)

已知焦點在 軸上的橢圓 過點 ，且離心率為 , 為橢圓 的左頂點.

(1)求橢圓 的標準方程;

(2)已知過點 的直線 與橢圓 交於 ， 兩點.

① 若直線 垂直於 軸，求 的大小;

② 若直線 與 軸不 垂直，是否存在直線 使得 為等腰三角形?如果存在，求出直線 的方程;如果不存在，請説明理由.

21. (本小題共14分)

已知 是由滿足下述條件的函數構成的集合：對任意 ，

① 方程 有實數根;② 函數 的導數 滿足 .

普通高中20122013中聯合考試

高三數

解答題

16.解：(Ⅰ)設 的公差為 ，。

因為 所以 3分

解得 或 (舍)， .。

故 ， .6分

(Ⅱ)因為 。

所以 .9分

故

11分

因為 ，所以 ，於是 ，。

所以 .

即 13分

17.解：(Ⅰ) 2分

4分

6分

，

。 7分

(Ⅱ)令 =0,解得

易知 的圖象與 軸正半軸的第一個交點為 。 9分

所以 的圖象、 軸的正半軸及形的面積

。11分

13分

18.解：(Ⅰ)取 的中點 ，連接 ，

由 ，得：

就是二面角 的平面角，即 2分

在 中，解得 ，又

，解得 。 4分

(Ⅱ)由 ，

， ，

， 又 ， 平面 .8分

(Ⅲ)方法一：由(Ⅰ)知 平面 ， 平面

平面 平面 ，平面 平面 ，

就是 與平面 所成的角。11分

.13分

方 法二：設點 到平面 的距離為 ，。

∵ ， ，

， 11分

於是 與平面 所成角 的正弦為 .13分

方法三：以 所在直線分別為 軸， 軸和 軸建立空間直角座標系 ，。

則 .

設平面 的法向量為 ，則

， ， ， ，

取 ，則 ， 11分

於是 與平面 所成角 的正弦 .13分

19.解：(I)記15條魚中任選3條恰好有1條魚汞含量超標為事件A

則 .

15條魚中任選3條恰好有1條魚汞含量超標的概率為 5分

(II)解法一：依題意可知，這批羅非魚中汞含量超標的魚的概率P= ，7分

所有的取值為0，1，2，3，其分佈列如下：

0123

P()

11分

所以～ ， 12分

所以E=1. 13分

解法 二：依題意可知，這批羅非魚中汞含量超標的魚的概率P= ， 7分

所有的取值為0，1，2，3，其分佈列如下：

0123

P()

11分

所以E= . 13分

20.解：(Ⅰ)設橢圓 的標準方程為 ，且 .

由題意可知： ， . 2分

解得 .

橢圓 的標準方程為 . 3分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 .設 .

(ⅰ)當直線 垂直於 軸時，直線 的方程為 .

由 解得： 或

即 (不妨設點 在 軸上方). 5分

則直線 的斜率 ，直線 的斜率 .

∵ ，得 .

. 6分

(ⅱ)當直線 與 軸不垂直時，由題意可設直線 的方程為 .

由 消去 得： .

因為 點 在橢圓 的內部，顯然 .

8分

因為 ， ， ，

所以

. 即 為直角三角形. 11分

假設存在直線 使得 為等腰三角形，則 .

取 的中點 ，連接 ，則 .

記點 為 .

另一方面，點 的橫座標 ，。

點 的縱座標 .

又

故 與 不垂直，矛盾.

所以 當直線 與 軸不垂直時，不存在直線 使得 為等腰三角形.

13分

21.解：(Ⅰ)因為①當 時， ，。

所以方程 有實數根0;

② ，

所以 ，滿足條件 ;

由①②，函數 是集合 中的元素. 5分

(Ⅱ)假設方程 存在兩個實數根 ， ，。

則 ， .

不妨設 ，根據題意存在 ，。

滿足 .

因為 ， ，且 ，所以 .

與已知 矛盾.又 有實數根，。

所以方程 有且只有一個實數根. 10分

(Ⅲ)當 時，結論顯然成立; 11分

當 ，不妨設 .

因為 ,且 所以 為增函數，那麼 .

又因為 ，所以函數 為減函數。