高中數學求值域的方法
高中數學求值域有時候對學生來説十分的困難,這也是一個考試的難點重點,那麼有什麼方法嗎?下面小編就來和大家説説高中數學求值域的方法吧!
高中數學求值域的方法一.觀察法
通過對函數定義域、性質的觀察,結合函數的解析式,求得函數的值域。
例1求函數y=3+√(2-3x)的值域。
點撥:根據算術平方根的性質,先求出√(2-3x)的值域。
解:由算術平方根的性質,知√(2-3x)≥0,故3+√(2-3x)≥3。∴函數的值域為{y?y≥3}.
點評:算術平方根具有雙重非負性,即:(1)被開方數的非負性,(2)值的非負性。
本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解,這種方法對於一類函數的值域的求法,簡捷明瞭,不失為一種巧法。練習:求函數y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域為:{0,1,2,3,4,5})
二.反函數法
當函數的反函數存在時,則其反函數的定義域就是原函數的值域。
例2求函數y=(x+1)/(x+2)的值域。
點撥:先求出原函數的`反函數,再求出其定義域。
解:顯然函數y=(x+1)/(x+2)的反函數為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域為y≠1的實數,故函數y的值域為{y?y≠1,y∈R}。
點評:利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數。
這種方法體現逆向思維的思想,是數學解題的重要方法之一。練習:求函數y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函數的值域為{y?y1})
三.配方法
當所給函數是二次函數或可化為二次函數的複合函數時,可以利用配方法求函數值域
例3:求函數y=√(-x2+x+2)的值域。
點撥:將被開方數配方成完全平方數,利用二次函數的最值求。
解:由-x2+x+2≥0,可知函數的定義域為x∈[-1,2]。此時-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函數的值域是[0,3/2]
點評:求函數的值域不但要重視對應關係的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。
配方法是數學的一種重要的思想方法。練習:求函數y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域為{y?y≤3})
四.判別式法
若可化為關於某變量的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域。
例4求函數y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
點撥:將原函數轉化為自變量的二次方程,應用二次方程根的判別式,從而確定出原函數的值域。
解:將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)當y≠2時,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2當y=2時,方程(*)無解。∴函數的值域為2點評:把函數關係化為二次方程F(x,y)=0,由於方程有實數解,故其判別式為非負數,可求得函數的值域。常適應於形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數。
練習:求函數y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域為y≤-8或y0)。
五.最值法
對於閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,並與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數z=xy+3x的值域。
點撥:根據已知條件求出自變量x的取值範圍,將目標函數消元、配方,可求出函數的值域。
解:∵3x2+x+10,上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,將y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數z在區間[-1,3/2]上連續,故只需比較邊界的大小。當x=-1時,z=-5;當x=3/2時,z=15/4。∴函數z的值域為{z?-5≤z≤15/4}。
點評:本題是將函數的值域問題轉化為函數的最值。對開區間,若存在最值,也可通過求出最值而獲得函數的值域。
練習:若√x為實數,則函數y=x2+3x-5的值域為()A.(-∞,+∞)B.[-7,+∞]C.[0,+∞)D.[-5,+∞);(答案:D)。
六.圖象法
通過觀察函數的圖象,運用數形結合的方法得到函數的值域。
例6求函數y=?x+1?+√(x-2)2的值域。點撥:根據絕對值的意義,去掉符號後轉化為分段函數,作出其圖象。
解:原函數化為-2x+1(x≤1)y=3(-12)顯然函數值y≥3,所以,函數值域[3,+∞]。
點評:分段函數應注意函數的端點。利用函數的圖象求函數的值域,體現數形結合的思想。是解決問題的重要方法。求函數值域的方法較多,還適應通過不等式法、函數的單調性、換元法等方法求函數的值域。
相關文章
-
高中數學求最值的方法
函數的最值問題既是歷年大學聯考重點考查的內容之一,也是中學數學的主要內容。分享了高中數學求最值的幾種方法,希望對同學們有幫助!(1)代數法。代數法包括判別式法(主要是應用方程的思想來解決函數最值問題)配方法(解決二次函數 -
函數定義域 函數值域高一數學知識點總結
(高中函數定義)設A,B是兩個非空的數集,如果按某個確定的對應關係f,使對於集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那麼就稱f:A--B為集合A到集合B的一個函數,記作y=f(x),x屬於集合A。其中,x叫作自變量,x的 -
數形結合方法在高中數學教學中的應用論文
你好學上進,自尊心強,非常聰明,什麼本領一學就會,上課時能經常看到你高高舉起的小手,老師真高興。你喜歡畫畫,想象大膽奇特,經常受到老師的表揚。本學期你其他方面也進步了許多,希望你在新的一學期裏繼續努力,做小朋友的榜樣。 -
在高等數學教學中體現數學建模思想的方法論文
1數學建模在煤礦安全生產中的意義在瓦斯系統的研究過程中,應用數學建模的手段為礦井瓦斯構建數學模型,可以為採煤方案的設計和通風系統的建設提供很大的幫助;尤其是對於我國眾多的中小型煤礦而言,因為資金有限而導致安全 -
中等大學聯考生快速提高數學成績的方法
1.備考的心態。多數中等生的數學成績是很有希望提升。一方面是目前的成績中等,具備了一定基礎,努力的學生態度沒有問題,只是缺少方向和適合的方法而已。另一方面,備 考時間還算充足,離大學聯考還有一段時間。所以不要帶着消極 -
高中的數學解題方法
為了使回想、聯想、猜想的方向更明確,思路更加活潑,進一步提高探索的成效,我們必須掌握一些解題的策略。下面是小編整理的高中數學解題方法,歡迎來參考!一切解題的策略的基本出發點在於“變換”,即把面臨的問題轉化為一道或 -
高中數學學習方法有哪些?學習方法詳解
炎熱、潮濕的天氣,都很容易出現頭髮扁塌的問題,不但令整體造型感大大下降,而且當頭發變得扁塌,髮量看起來亦會立即變少!想即時解決頭髮扁塌問題找回蓬鬆感,不如使用ghd全新推出的首款3D豐盈熱能梳ghd Rise,只需簡單的步驟 -
高中數學教學中變題的方法與技術研究
關鍵詞:高中數學;變題;變題研究;方法;技術高中數學教學中,學生的解題能力是培養重點,傳統的教學思路中,學生的解題能力更多地在雜亂無章的題海中自然形成,低效性不言而喻。 而要想系統地培養學生的解題能力,除了基於已有的習題 -
淺談中學數學教學過程中提高學生學習效率的主要方法
摘要:中學數學教學過程中,學生自身的解題思路以及問題意識的培養是教師進行教學的最終目標,讓學生形成良好的學習方法是教師培養學生各方面能力的關鍵所在。結合以上觀點進行相關論述,希望對提高學生自身的學習效率起到 -
高中數學的教學方法
腦筋急轉彎最早起源於古代印度。就是指當思維遇到特殊的阻礙時,要很快的離開習慣的思路,從別的方面來思考問題。現在泛指一些不能用通常的思路來回答的的智力問答題。腦筋急轉彎分類比較廣泛:有益智類,搞笑類,數學類,成人類