關於數學等差和等比數列通項公式
關於數學等差和等比數列通項公式
1,a(1)=a,a(n)為公差為r的等差數列。
1-1,通項公式,
a(n)=a(n-1)+r=a(n-2)+2r=...=a[n-(n-1)]+(n-1)r=a(1)+(n-1)r=a+(n-1)r.
可用歸納法證明。
n=1時,a(1)=a+(1-1)r=a。成立。
假設n=k時,等差數列的通項公式成立。a(k)=a+(k-1)r
則,n=k+1時,a(k+1)=a(k)+r=a+(k-1)r+r=a+[(k+1)-1]r.
通項公式也成立。
因此,由歸納法知,等差數列的'通項公式是正確的。
1-2,求和公式,
S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n)
=a+(a+r)+...+[a+(n-1)r]
=na+r[1+2+...+(n-1)]
=na+n(n-1)r/2
同樣,可用歸納法證明求和公式。(略)
2,a(1)=a,a(n)為公比為r(r不等於0)的等比數列。
2-1,通項公式,
a(n)=a(n-1)r=a(n-2)r^2=...=a[n-(n-1)]r^(n-1)=a(1)r^(n-1)=ar^(n-1).
可用歸納法證明等比數列的通項公式。(略)
2-2,求和公式,
S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n)
=a+ar+...+ar^(n-1)
=a[1+r+...+r^(n-1)]
r不等於1時,
S(n)=a[1-r^n]/[1-r]
r=1時,
S(n)=na.
同樣,可用歸納法證明求和公式。
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