高中數學等比數列教案
- 其他
- 關注:2W次
導語:如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比等於同一個常數,這個數列就叫做等比數列。以下是本站小編整理的高中數學等比數列教案,歡迎閲讀參考。
高中數學等比數列教案教學目標
1.理解的概念,掌握的通項公式,並能運用公式解決簡單的問題.
(1)正確理解的定義,瞭解公比的概念,明確一個數列是的限定條件,能根據定義判斷一個數列是,瞭解等比中項的概念;
(2)正確認識使用的表示法,能靈活運用通項公式求的首項、公比、項數及指定的項;
(3)通過通項公式認識的性質,能解決某些實際問題.
2.通過對的研究,逐步培養學生觀察、類比、歸納、猜想等思維品質.
3.通過對概念的歸納,進一步培養學生嚴密的思維習慣,以及實事求是的科學態度.
教學建議
教材分析
(1)知識結構
是另一個簡單常見的數列,研究內容可與等差數列類比,首先歸納出的定義,導出通項公式,進而研究圖像,又給出等比中項的概念,最後是通項公式的應用.
(2)重點、難點分析
教學重點是的定義和對通項公式的認識與應用,教學難點 在於通項公式的推導和運用.
①與等差數列一樣,也是特殊的數列,二者有許多相同的性質,但也有明顯的區別,可根據定義與通項公式得出的特性,這些是教學的重點.
②雖然在等差數列的學習中曾接觸過不完全歸納法,但對學生來説仍然不熟悉;在推導過程中,需要學生有一定的觀察分析猜想能力;第一項是否成立又須補充説明,所以通項公式的推導是難點.
③對等差數列、的綜合研究離不開通項公式,因而通項公式的靈活運用既是重點又是難點.
教學建議
(1)建議本節課分兩課時,一節課為的概念,一節課為通項公式的應用.
(2)概念的引入,可給出幾個具體的例子,由學生概括這些數列的相同特徵,從而得到的定義.也可將幾個等差數列和幾個混在一起給出,由學生將這些數列進行分類,有一種是按等差、等比來分的,由此對比地概括的定義.
(3)根據定義讓學生分析的公比不為0,以及每一項均不為0的特性,加深對概念的理解.
(4)對比等差數列的表示法,由學生歸納的各種表示法. 啟發學生用函數觀點認識通項公式,由通項公式的結構特徵畫數列的圖象.
(5)由於有了等差數列的研究經驗,的研究完全可以放手讓學生自己解決,教師只需把握課堂的節奏,作為一節課的組織者出現.
(6)可讓學生相互出題,解題,講題,充分發揮學生的主體作用.
教學設計示例
課題:的概念
教學目標
1.通過教學使學生理解的概念,推導並掌握通項公式.
2.使學生進一步體會類比、歸納的思想,培養學生的觀察、概括能力.
3.培養學生勤于思考,實事求是的精神,及嚴謹的科學態度.
教學重點,難點
重點、難點是的定義的歸納及通項公式的推導.
教學用具
投影儀,多媒體軟件,電腦.
教學方法
討論、談話法.
教學過程
一、提出問題
給出以下幾組數列,將它們分類,説出分類標準.(幻燈片)
①-2,1,4,7,10,13,16,19,…
②8,16,32,64,128,256,…
③1,1,1,1,1,1,1,…
④243,81,27,9,3,1, , ,…
⑤31,29,27,25,23,21,19,…
⑥1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…
⑦1,-10,100,-1000,10000,-100000,…
⑧0,0,0,0,0,0,0,…
由學生髮表意見(可能按項與項之間的關係分為遞增數列、遞減數列、常數數列、擺動數列,也可能分為等差、等比兩類),統一一種分法,其中②③④⑥⑦為有共同性質的一類數列(學生看不出③的情況也無妨,得出定義後再考察③是否為).
二、講解新課
請學生説出數列②③④⑥⑦的共同特性,教師指出實際生活中也有許多類似的例子,如變形蟲分裂問題.假設每經過一個單位時間每個變形蟲都分裂為兩個變形蟲,再假設開始有一個變形蟲,經過一個單位時間它分裂為兩個變形蟲,經過兩個單位時間就有了四個變形蟲,…,一直進行下去,記錄下每個單位時間的變形蟲個數得到了一列數 這個數列也具有前面的幾個數列的共同特性,這是我們將要研究的另一類數列——. (這裏播放變形蟲分裂的多媒體軟件的第一步)
(板書)
1.的定義(板書)
根據與等差數列的名字的區別與聯繫,嘗試給下定義.學生一般回答可能不夠完美,多數情況下,有了等差數列的基礎是可以由學生概括出來的.教師寫出的定義,標註出重點詞語.
請學生指出②③④⑥⑦各自的公比,並思考有無數列既是等差數列又是.學生通過觀察可以發現③是這樣的數列,教師再追問,還有沒有其他的例子,讓學生再舉兩例.而後請學生概括這類數列的一般形式,學生可能説形如 的數列都滿足既是等差又是,讓學生討論後得出結論:當 時,數列 既是等差又是,當 時,它只是等差數列,而不是.教師追問理由,引出對的認識:
2.對定義的認識(板書)
(1)的首項不為0;
(2)的每一項都不為0,即 ;
問題:一個數列各項均不為0是這個數列為的什麼條件?
(3)公比不為0.
用數學式子表示的定義.
是 ①.在這個式子的寫法上可能會有一些爭議,如寫成 ,可讓學生研究行不行,好不好;接下來再問,能否改寫為 是 ?為什麼不能?
式子 給出了數列第 項與第 項的數量關係,但能否確定一個?(不能)確定一個需要幾個條件?當給定了首項及公比後,如何求任意一項的值?所以要研究通項公式.
3.的通項公式(板書)
問題:用 和 表示第 項 .
①不完全歸納法
.
②疊乘法
,… , ,這 個式子相乘得 ,所以 .
(板書)(1)的通項公式
得出通項公式後,讓學生思考如何認識通項公式.
(板書)(2)對公式的認識
由學生來説,最後歸結:
①函數觀點;
②方程思想(因在等差數列中已有認識,此處再複習鞏固而已).
這裏強調方程思想解決問題.方程中有四個量,知三求一,這是公式最簡單的應用,請學生舉例(應能編出四類問題).解題格式是什麼?(不僅要會解題,還要注意規範表述的訓練)
如果增加一個條件,就多知道了一個量,這是公式的更高層次的應用,下節課再研究.同學可以試着編幾道題.
三、小結
1.本節課研究了的概念,得到了通項公式;
2.注意在研究內容與方法上要與等差數列相類比;
3.用方程的思想認識通項公式,並加以應用.
四、作業 (略)
五、板書設計
1.等比數列的定義
2.對定義的認識
3.等比數列的通項公式
(1)公式
(2)對公式的認識
探究活動
將一張很大的薄紙對摺,對摺30次後(如果可能的話)有多厚?不妨假設這張紙的厚度為0.01毫米.
參考答案:
30次後,厚度為,這個厚度超過了世界最高的山峯——珠穆朗瑪峯的高度.如果紙再薄一些,比如紙厚0.001毫米,對摺34次就超過珠穆朗瑪峯的高度了.還記得國王的承諾嗎?第31個格子中的米已經是1073741824粒了,後邊的格子中的米就更多了,最後一個格子中的米應是 粒,用計算器算一下吧(用對數算也行).
高中數學等比數列教案等比數列的性質
知能目標解讀
1.結合等差數列的性質,瞭解等比數列的性質和由來.
2.理解等比數列的性質及應用.
3.掌握等比數列的性質並能綜合運用.
重點難點點撥
重點:等比數列性質的運用.
難點:等比數列與等差數列的綜合應用.
學習方法指導
1.在等比數列中,我們隨意取出連續三項及以上的數,把它們重新依次看成一個新的數列,則此數列仍為等比數列,這是因為隨意取出連續三項及以上的數,則以取得的第一個數為首項,且仍滿足從第2項起,每一項與它的前一項的比都是同一個常數,且這個常數量仍為原數列的公比,所以,新形成的數列仍為等比數列.
2.在等比數列中,我們任取下角標成等差的三項及以上的數,按原數列的先後順序排列所構成的數列仍是等比數列,簡言之:下角標成等差,項成等比.我們不妨設從等比數列{an}中依次取出的數為ak,ak+m,ak+2m,ak+3m,…,則 = = =…=qm(q為原等比數列的公比),所以此數列成等比數列.
3.如果數列{an}是等比數列,公比為q,c是不等於零的常數,那麼數列{can}仍是等比數列,且公比仍為q;?{|an|}?也是等比,且公比為|q|.我們可以設數列{an}的公比為q,且滿足 =q,則 = =q,所以數列{can}仍是等比數列,公比為q.同理,可證{|an|}也是等比數列,公比為|q|.
4.在等比數列{an}中,若m+n=t+s且m,n,t,s∈N+則aman=atas.理由如下:因為aman=a1qm-1•a1qn-1
=a21qm+n-2,atas=a1qt-1•a1qs-1=a21qt+s-2,又因為m+n=t+s,所以m+n-2=t+s-2,所以aman=atas.從此性質還可得到,項數確定的等比數列,距離首末兩端相等的兩項之積等於首末兩項之積.
5.若{an},{bn}均為等比數列,公比分別為q1,q2,則
(1){anbn}仍為等比數列,且公比為q1q2.
(2) { }仍為等比數列,且公比為 .
理由如下:(1) =q1q2,所以{anbn}仍為等比數列,且公比為q1q2;(2) • = ,
所以{ }仍為等比數列,且公比為 .
知能自主梳理
1.等比數列的`項與序號的關係
(1)兩項關係
通項公式的推廣:
an=am• (m、n∈N+).
(2)多項關係
項的運算性質
若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+),
則am•an= .
特別地,若m+n=2p(m、n、p∈N+),
則am•an= .
2.等比數列的項的對稱性
有窮等比數列中,與首末兩項“等距離”的兩項之積等於首末兩項的積(若有中間項則等於中間項的平方),即 a1•an=a2• =ak• =a 2 (n為正奇數).
[答案] -m ap•aq a2p
-1 an-k+1
思路方法技巧
命題方向 運用等比數列性質an=am•qn-m (m、n∈N+)解題
[例1] 在等比數列{an}中,若a2=2,a6=162,求a10.
[分析] 解答本題可充分利用等比數列的性質及通項公式,求得q,再求a10.
[解析] 解法一:設公比為q,由題意得
a1q=2 a1= a1=-
,解得 ,或 .
a1q5=162 q=3 q=-3
∴a10=a1q9= ×39=13122或a10=a1q9=- ×(-3)9=13122.
解法二:∵a6=a2q4,
∴q4= = =81,
∴a10=a6q4=162×81=13122.
解法三:在等比數列中,由a26=a2•a10得
a10= = =13122.
[説明] 比較上述三種解法,可看出解法二、解法三利用等比數列的性質求解,使問題變得簡單、明瞭,因此要熟練掌握等比數列的性質,在解有關等比數列的問題時,要注意等比數列性質的應用.
變式應用1 已知數列{an}是各項為正的等比數列,且q≠1,試比較a1+a8與a4+a5的大小.
[解析] 解法一:由已知條件a1>0,q>0,且q≠1,這時
(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)•(1-q4)
=a1(1-q) 2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)>0,
顯然,a1+a8>a4+a5.
解法二:利用等比數列的性質求解.
由於(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)
=a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a5).
當0
當q>1時,此正數等比數列單調遞增,1-q3與a1-a5同為負數,
∵(a1+a8)-(a4+a5)恆正.
∴a1+a8>a4+a5.
命題方向 運用等比數列性質am•an=apaq(m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q)解題
[例2] 在等比數列{an}中,已知a7•a12=5,則a8•a9•a10•a11=( )
A.10 B.25 C.50 D.75
[分析] 已知等比數列中兩項的積的問題,常常離不開等比數列的性質,用等比數列的性質會大大簡化運算過程.
[答案] B
[解析] 解法一:∵a7•a12=a8•a11=a9•a10=5,∴a8•a9•a10•a11=52=25.
解法二:由已知得a1q6•a1q11=a21q17=5,
∴a8•a9•a10•a11=a1q7•a1q8•a1q9•a1q10=a41•q34=(a21q17) 2=25.
[説明] 在等比數列的有關運算中,常常涉及次數較高的指數運算,若按照常規解法,往往是建立a1,q的方程組,這樣解起來很麻煩,為此我們經常結合等比數列的性質,進行整體變換,會起到化繁為簡的效果.
變式應用2 在等比數列{an}中,各項均為正數,且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,求a4+a8.
[解析] ∵a6a10=a28,a3a5=a24,∴a28+a24=41.
又∵a4a8=5,an>0,
∴a4+a8= = = .
探索延拓創新
命題方向 等比數列性質的綜合應用
[例3] 試判斷能否構成一個等比數列{an},使其滿足下列三個條件:
①a1+a6=11;②a3•a4= ;③至少存在一個自然數m,使 am-1,am,am+1+ 依次成等差數列,若能,請寫出這個數列的通項公式;若不能,請説明理由.
[分析] 由①②條件確定等比數列{an}的通項公式,再驗證是否符合條件③.
[解析] 假設能夠構造出符合條件①②的等比數列{an},不妨設數列{an}的公比為q,由條件①②及a1•a6=a3•a4,得
a1+a6=11 a1= a1=
,解得 ,或
a1•a6= a6= a6= .
a1= a1=
從而 ,或 .
q=2 q=
故所求數列的通項為an= •2n-1或an= •26-n.
對於an= •2n-1,若存在題設要求的m,則
2am= am-1+(am+1+ ),得
2( •2m-1)= • •2m-2+ •2m+ ,得
2m+8=0,即2m=-8,故符合條件的m不存在.
對於an= •26-n,若存在題設要求的m,同理有
26-m-8=0,即26-m=8,∴m=3.
綜上所述,能夠構造出滿足條件①②③的等比數列,通項為an= •26-n.
[説明] 求解數列問題時應注意方程思想在解題中的應用.
變式應用3 在等差數列{an}中,公差d≠0,a2是a1與a4的等比中項,已知數列a1,a3,ak1,ak2,…,akn,……成等比數列,求數列{kn}的通項kn.
[解析] 由題意得a22=a1a4,
即(a1+d) 2=a1(a1+3d),
又d≠0,∴a1=d.
∴an=nd.
又a1,a3,ak1,ak2,……,akn,……成等比數列,
∴該數列的公比為q= = =3.
∴akn=a1•3n+1.
又akn=knd,∴kn=3n+1.
所以數列{kn}的通項為kn=3n+1.
名師辨誤做答
[例4] 四個實數成等比數列,且前三項之積為1,後三項之和為1 ,求這個等比數列的公比.
[誤解] 設這四個數為aq-3,aq-1,aq,aq3,由題意得
a3q-3=1, ①
aq-1+aq+aq3=1 . ②
由①得a=q,把a=q代入②並整理,得4q4+4q2-3=0,解得q2= 或q2=- (捨去),故所求的公比為 .
[辨析] 上述解法中,四個數成等比數列,設其公比為q2,則公比為正數,但題設並無此條件,因此導致結果有誤.
[正解] 設四個數依次為a,aq,aq2,aq3,由題意得
(aq)3=1, ①
aq+aq2+aq3=1 . ②
由①得a=q-1,把a=q-1代入②並整理,得4q2+4q-3=0,解得q= 或q=- ,故所求公比為 或- .
課堂鞏固訓練
一、選擇題
1.在等比數列{an}中,若 a6=6,a9=9,則a3等於( )
A.4 B. C. D.3?
[答案] A?
[解析] 解法一:∵a6=a3•q3,
∴a3•q3=6.?
a9=a6•q3,
∴q3= = .
∴a3= =6× =4.
解法二:由等比數列的性質,得
a26=a3•a9,
∴36=9a3,∴a3=4.
2.在等比數列{an}中,a4+a5=10,a6+a7=20,則a8+a9等於( )
A.90 B.30 C.70 D.40
[答案] D
[解析] ∵q2= =2,?
∴a8+a9=(a6+a7)q2=20q2=40.
3.如果數列{an}是等比數列,那麼( )?
A.數列{a2n}是等比數列 B.數列{2an}是等比數列
C.數列{lgan}是等比數列 D.數列{nan}是等比數列
[答案] A
[解析] 數列{a2n}是等比數列,公比為q2,故選A.
二、填空題
4.若a,b,c既成等差數列,又成等比數列,則它們的公比為 .?
[答案] 1?
2b=a+c,
[解析] 由題意知
b2=ac,
解得a=b=c,∴q=1.
5.在等比數列{an}中,公比q=2,a5=6,則a8= .?
[答案] 48
[解析] a8=a5•q8-5=6×23=48.
三、解答題
6.已知{an}為等比數列,且a1a9=64,a3+a7=20,求a11.?
[解析] ∵{an}為等比數列,?
∴a1•a9=a3•a7=64,又a3+a7=20,?
∴a3,a7是方程t2-20t+64=0的兩個根.?
∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4,?
當a3=4時,a3+a7=a3+a3q4=20,?
∴1+q4=5,∴q4=4.?
當a3=16時,a3+a7=a3(1+q4)=20,
∴1+q4= ,∴q4= .?
∴a11=a1q10=a3q8=64或1.
課後強化作業
一、選擇題
1.在等比數列{an}中,a4=6,a8=18,則a12=( )
A.24 B.30 C.54 D.108?
[答案] C?
[解析] ∵a8=a4q4,∴q4= = =3,
∴a12=a8•q4=54.
2.在等比數列{an}中,a3=2-a2,a5=16-a4,則a6+a7的值為( )
A.124 B.128 C.130 D.132
[答案] B?
[解析] ∵a2+a3=2,a4+a5=16,?
又a4+a5=(a2+a3)q2,
∴q2=8.?
∴a6+a7=(a4+a5)q2=16×8=128.
3.已知{an}為等比數列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那麼a3+a5等於( )
A.5 B.10 C.15 D.20?
[答案] A?
[解析] ∵a32=a2a4,a52=a4a6,?
∴a32+2a3a5+a52=25,
∴(a3+a5) 2=25,?
又∵an>0,∴a3+a5=5.
4.在正項等比數列{an}中,a1和a19為方程x2-10x+16=0的兩根,則a8•a10•a12等於( )
A.16 B.32 C.64 D.256?
[答案] C?
[解析] 由已知,得a1a19=16,?
又∵a1•a19=a8•a12=a102,
∴a8•a12=a102=16,又an>0,?
∴a10=4,
∴a8•a10•a12=a103=64.
5.已知等比數列{an}的公比為正數,且a3•a9=2a25,a2=1,則a1=( )?
A. B. C. D.2?
[答案] B?
[解析] ∵a3•a9=a26,又∵a3a9=2a25,?
∴a26=2a25,∴( )2=2,?
∴q2=2,∵q>0,∴q= .
又a2=1,∴a1= = = .
6.在等比數列{an}中,an>an+1,且a7•a11=6,a4+a14=5,則 等於( )
A. B. C. D.6
[答案] A
a7•a11=a4•a14=6
[解析] ∵
a4+a14=5
a4=3 a4=2
解得 或 .
a14=2 a14=3
又∵an>an+1,∴a4=3,a14=2.
∴ = = .
7.已知等比數列{an}中,有a3a11=4a7,數列{bn}是等差數列,且b7=a7,則b5+b9等於( )
A.2 B.4 C.8 D.16
[答案] C
[解析] ∵a3a11=a72=4a7,∵a7≠0,
∴a7=4,∴b7=4,
∵{bn}為等差數列,∴b5+b9=2b7=8.
8.已知0
( )
A.等差數列? B.等比數列?
C.各項倒數成等差數列? D.以上都不對?
[答案] C?
[解析] ∵a,b,c成等比數列,∴b2=ac.?
又∵ + =logna+lognc=lognac
=2lognb= ,?
∴ + = .
二、填空題
9.等比數列{an}中,an>0,且a2=1+a1,a4=9+a3,則a5-a4等於 .
[答案] 27
[解析] 由題意,得a2-a1=1,a4-a3=(a2-a1)q2=9,
∴q2=9,又an>0,∴q=3.?
故a5-a4=(a4-a3)q=9×3=27.
10.已知等比數列{an}的公比q=- ,則 等於 .
[答案] -3
[解析] =
= =-3.
11.等比數列{an}中,an>0,且a5•a6=9,則log3a2+log3a9= .
[答案] 2
[解析] ∵an>0,∴log3a2+log3a9=log3a2a9
=log3a5a6=log39=log332=2.
12.(2011•廣東文,11)已知{an}是遞增等比數列,a2=2,a4-a3=4,則此數列的公比q= .
[答案] 2?
[解析] 本題主要考查等比數列的基本公式,利用等比數列的通項公式可解得.
解析:a4-a3=a2q2-a2q=4,?
因為a2=2,所以q2-q-2=0,解得q=-1,或q=2.
因為an為遞增數列,所以q=2.
三、解答題
13.在等比數列{an}中,已知a4•a7=-512,a3+a8=124,且公比為整數,求a10.
[解析] ∵a4•a7=a3•a8=-512,
a3+a8=124 a3=-4 a3=128
∴ ,解得 或 .
a3•a8=-512 a8=128 a8=-4
又公比為整數,
∴a3=-4,a8=128,q=-2.
∴a10=a3•q7=(-4)×(-2)7=512.
14.設{an}是各項均為正數的等比數列,bn=log2an,若b1+b2+b3=3,b1•b2•b3=-3,求此等比數列的通項公式an.?
[解析] 由b1+b2+b3=3,?
得log2(a1•a2•a3)=3,
∴a1•a2•a3=23=8,
∵a22=a1•a3,∴a2=2,又b1•b2•b3=-3,
設等比數列{an}的公比為q,得?
log2( )•log2(2q)=-3.
解得q=4或 ,
∴所求等比數列{an}的通項公式為
an=a2•qn-2=22n-3或an=25-2n.
15.某工廠2010年生產某種機器零件100萬件,計劃到2012年把產量提高到每年生產121萬件.如果每一年比上一年增長的百分率相同,這個百分率是多少?2011年生產這種零件多少萬件?.
[解析] 設每一年比上一年增長的百分率為x,則從2010年起,連續3年的產量依次為a1=100,a2=a1(1+x),a3=a2(1+x),即a1=100,a2=100(1+x),a3=100(1+x) 2,成等比數列.
由100(1+x) 2=121得(1+x) 2=1.21,
∴1+x=1.1或1+x=-1.1,?
∴x=0.1或x=-2.1(捨去),?
a2=100(1+x)=110(萬件),?
所以每年增長的百分率為10%,2011年生產這種零件110萬件.
16.等差數列{an}中,a4=10,且a3,a6,a10成等比數列.求數列{an}前20項的和S20.
[解析] 設數列{an}的公差為d,則a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d.
由a3,a6,a10成等比數列得a3a10=a26,?
即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2,?
整理得10d2-10d=0,解得d=0或d=1.
當d=0時,S20=20a4=200,?
當d=1時,a1=a4-3d=10-3×1=7,?
於是,S20=20a1+ d=20×7+190=330.
- 文章版權屬於文章作者所有,轉載請註明 https://xuewengu.com/flxy/qita/w2g4n5.html