大學聯考數學主要考點

專題一：集合

考點1：集合的基本運算

考點2：集合之間的關係

專題二：函數

考點3：函數及其表示

考點4：函數的基本性質

考點5：一次函數與二次函數。

考點6：指數與指數函數

考點7：對數與對數函數

考點8：冪函數

考點9：函數的圖像

考點10：函數的值域與最值

考點11：函數的應用

專題三：立體幾何初步

考點12：空間幾何體的結構、三視圖和直視圖

考點13：空間幾何體的表面積和體積

考點14：點、線、面的位置關係

考點15：直線、平面平行的性質與判定

考點16：直線、平面垂直的判定及其性質

平面向量與解析幾何的綜合

一. 教學內容：平面向量與解析幾何的綜合

二. 教學重、難點：

1. 重點：

平面向量的基本，圓錐曲線的基本。

2. 難點：

平面向量與解析幾何的內在聯繫和知識綜合，向量作為解決問題的一種工具的應用意識。

【典型例題

[例1] 如圖，已知梯形ABCD中， ，點E分有向線段 所成的比為< > ，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，求雙曲線的離心率.

解：如圖，以AB的垂直平分線為 軸，直線AB為 軸，建立直角座標系 軸，因為雙曲線經過點C、D且以AB為焦點，由對稱性知C、D關於 軸對稱

設A（ ）B（ 為梯形的高

∴

設雙曲線為 則

由（1）： （3）

將（3）代入（2）：∴ ∴

[例2] 如圖，已知梯形ABCD中， ，點E滿足 時，求離心率 的取值範圍。

解：以AB的垂直平分線為 軸，直線AB為 軸，建立直角座標系 軸。

因為雙曲線經過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性，知C、D關於 軸對稱 高中生物。

依題意，記A（ ）、E（ 是梯形的高。

由

得

設雙曲線的方程為 ，則離心率由點C、E在雙曲線上，將點C、E的座標和由（1）式，得 （3）

將（3）式代入（2）式，整理，得故 ，得解得所以，雙曲線的離心率的取值範圍為

[例3] 在以O為原點的直角座標系中，點A（ ）為 的直角頂點，已知 ，且點B的縱座標大於零，（1）求 關於直線OB對稱的圓的方程。（3）是否存在實數 ，使拋物線 的取值範圍。

解：

（1）設 ，則由 ，即 ，得 或

因為

所以 ，故

（2）由 ，得B（10，5），於是直線OB方程：由條件可知圓的標準方程為：得圓心（

設圓心（ ）則 得 ，

故所求圓的方程為（3）設P（ ）為拋物線上關於直線OB對稱的兩點，則

得

即 、於是由故當 時，拋物線（3）二：設P（ ），PQ的中點M（∴ （1）－（2）： 代入∴ 直線PQ的方程為

∴ ∴

[例4] 已知常數 ， 經過原點O以 為方向向量的直線與經過定點A（ 方向向量的直線相交於點P，其中 ，試問：是否存在兩個定點E、F使 為定值，若存在，求出E、F的座標，不存在，説明理由。（2003天津）

解：根據題設條件，首先求出點P座標滿足的方程，據此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值。

∵ ∴

因此，直線OP和AB的方程分別為 和消去參數 ，得點P（ ，整理，得

① 因為（1）當（2）當 時，方程①表示橢圓，焦點E 和F 為合乎題意的兩個定點；

（3）當 時，方程①也表示橢圓，焦點E 和F（ ）為合乎題意的兩個定點。

[例5] 給定拋物線C： 夾角的大小，（2）設 求 在 軸上截距的變化範圍

解：

（1）C的焦點F（1，0），直線 的斜率為1，所以 的方程為 代入方程 ）、B（則有

所以 與

（2）設A（ ）由題設

即 ，由（2）得 ，

∴

依題意有 ）或B（又F（1，0），得直線 方程為

當 或由 ，可知∴

直線 在 軸上截距的變化範圍為

[例6] 拋物線C的方程為 ）（ 的兩條直線分別交拋物線C於A（ ）兩點（P、A、B三點互不相同）且滿足 （（1）求拋物線C的焦點座標和準線方程

（2）設直線AB上一點M，滿足 ，證明線段PM的中點在 軸上

（3）當 ），求解：（1）由拋物線C的方程 ），準線方程為

（2）證明：設直線PA的方程為

點P（ ）的座標是方程組 的解

將（2）式代入（1）式得

於是 ，故 （3）

又點P（ ）的座標是方程組 的解

將（5）式代入（4）式得 ，故

由已知得， ，則設點M的座標為（ ），由 。則

將（3）式和（6）式代入上式得

即（3）解：因為點P（ ，拋物線方程為由（3）式知 ，代入

將 得因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點A、B的座標為

於是， ，

因即 或

又點A的縱座標 滿足當 ；當 時，所以，

[例7] 已知橢圓 和點M（ 的取值範圍；如要你認為不能，請加以證明。

解： 不可能為鈍角，證明如下：如圖所示，設A（ ），直線 的方程為

由 得 ，又 ， ，若 為鈍角，則

即 ，即

即

即∴

∴

【模擬】（答題時間：60分鐘）

1. 已知橢圓 ，定點A（0，3），過點A的直線自上而下依次交橢圓於M、N兩個不同點，且 ，求實數 的取值範圍。

2. 設拋物線 軸，證明：直線AC經過原點。

3. 如圖，設點A、B為拋物線 ，求點M的軌跡方程，並説明它表示什麼曲線。

4. 平面直角座標系中，O為座標原點，已知兩點A（3，1），B（ ）若C滿足 ，其中 ，求點C的軌跡方程。

5. 橢圓的中心是原點O，它的短軸長為 ，相應於焦點F（ ）的準線 與 軸相交於點A， ，過點A的直線與橢圓相交於P、Q兩點。

（1）求橢圓的方程；

（2）設 ，過點P且平行於準線 的直線與橢圓相交於另一點M，證明 ；

（3）若 ，求直線PQ的方程。

【試題答案】

1. 解：因為 ，且A、M、N三點共線，所以 ，且 ，得N點座標為

因為N點在橢圓上，所以即所以

由

解得2. 證明：設A（ ）、B（ ）（ ），則C點座標為（ 、

因為A、F、B三點共線，所以 ，即

化簡得

由 ，得

所以

即A、O、C三點共線，直線AC經過原點

3. 解：設 、 、則 、

∵ ∴

即又

即 （2） ∵ A、M、B三點共線

∴

即

化簡得 ③

將①②兩式代入③式，化簡整理，得

∵ A、B是異於原點的點 ∴ 故點M的軌跡方程是 （ ）為圓心，以4. 方法一：設C（

由 ，且 ，

∴ 又 ∵ ∴

∴ 方法二：∵ ，∴ 點C在直線AB上 ∴ C點軌跡為直線AB

∵ A（3，1）B（ ） ∴ 5. 解：（1） ；（2）A（3，0），

由已知得 注意解得 ，因F（2，0），M（ ）故

而

（3）設PQ方程為 ，由

得依題意 ∵

∴ ①及 ③

由①②③④得 ，從而所以直線PQ方程為

三角函數誘導公式

所謂三角函數誘導公式，就是將角n·(π/2)±α的三角函數轉化為角α的三角函數。

公式一： 設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等：

sin（2kπ+α）=sinα k∈z

cos（2kπ+α）=cosα k∈z

tan（2kπ+α）=tanα k∈z

cot（2kπ+α）=cotα k∈z

公式二： 設α為任意角，π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關係：

sin（π+α）=－sinα

cos（π+α）=－cosα

tan（π+α）=tanα

cot（π+α）=cotα

公式三： 任意角α與 -α的三角函數值之間的關係：

sin（－α）=－sinα

cos（－α）=cosα

tan（－α）=－tanα

cot（－α）=－cotα

公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關係：

sin（&pi 高中化學;－α）=sinα

cos（π－α）=－cosα

tan（π－α）=－tanα

cot（π－α）=－cotα

公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關係：

sin（2π－α）=－sinα

cos（2π－α）=cosα

tan（2π－α）=－tanα

cot（2π－α）=－cotα

公式六： π/2±α與α的三角函數值之間的關係：

sin（π/2+α）=cosα

cos（π/2+α）=－sinα

tan（π/2+α）=－cotα

cot（π/2+α）=－tanα

sin（π/2－α）=cosα

cos（π/2－α）=sinα

tan（π/2－α）=cotα

cot（π/2－α）=tanα

推算公式：3π/2±α與α的三角函數值之間的關係：

sin（3π/2+α）=－cosα

cos（3π/2+α）=sinα

tan（3π/2+α）=－cotα

cot（3π/2+α）=－tanα

sin（3π/2－α）=－cosα

cos（3π/2－α）=－sinα

tan（3π/2－α）=cotα

cot（3π/2－α）=tanα

誘導公式口訣：“奇變偶不變，符號看象限”。

“奇、偶”指的是π/2的倍數的奇偶，“變與不變”指的是三角函數的名稱的變化：“變”是指正弦變餘弦，正切變餘切。（反之亦然成立）“符號看象限”的含義是：把角α看做鋭角，不考慮α角所在象限，看n·(π/2)±α是第幾象限角，從而得到等式右邊是正號還是負號。

符號判斷口訣：

“一全正；二正弦；三兩切；四餘弦”。這十二字口訣的意思就是説： 第一象限內任何一個角的四種三角函數值都是“+”； 第二象限內只有正弦是“+”，其餘全部是“－”； 第三象限內只有正切和餘切是“+”，其餘全部是“－”； 第四象限內只有餘弦是“+”，其餘全部是“－”。

“ASCT”反Z。意即為“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照將字母Z反過來寫所佔的象限對應的三角函數為正值。

高中函數求值域的九種方法和例題講解

【讀者按】函數值域和定義域的大小,是高中數學常考的一個知識點,本文介紹了函數求值域最常用的九種方法和例題講解.

一.觀察法

通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。

例1求函數y=3+√(2-3x)的值域 高三。

點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2-3x)的值域。

解：由算術平方根的性質，知√(2-3x)≥0，

故3+√(2-3x)≥3。

∴函數的知域為.

點評：算術平方根具有雙重非負性，即：(1)被開方數的非負性，(2)值的非負性。

本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對於一類函數的值域的求法，簡捷明瞭，不失為一種巧法。

練習：求函數y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域為：{0，1，2，3，4，5｝)

二.反函數法

當函數的反函數存在時，則其反函數的定義域就是原函數的值域。

例2求函數y=(x+1)/(x+2)的值域。

點撥：先求出原函數的反函數，再求出其定義域。

解：顯然函數y=(x+1)/(x+2)的反函數為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域為y≠1的實數,故函數y的值域為{y?y≠1,y∈R｝。

點評：利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數。這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。

練習：求函數y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函數的值域為{y?y<-1或y>1｝)

三.配方法

當所給函數是二次函數或可化為二次函數的複合函數時,可以利用配方法求函數值域

例3：求函數y=√(-x2+x+2)的值域。

點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函數的最值求。

解：由-x2+x+2≥0,可知函數的定義域為x∈[-1，2]。此時-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]

∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函數的值域是[0,3/2]

點評：求函數的值域不但要重視對應關係的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的一種重要的思想方法。

練習：求函數y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域為{y?y≤3})

四.判別式法

若可化為關於某變量的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域。

例4求函數y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

點撥：將原函數轉化為自變量的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函數的值域。

解：將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)

當y≠2時,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2

當y=2時,方程(*)無解。∴函數的值域為2

點評：把函數關係化為二次方程F(x,y)=0，由於方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函數的值域。常適應於形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數。

高二文科生數學學法指導

總的來説，可以分為8大部分：函數、數列、立體幾何、解析幾何、排列組合、不等式、平面向量、二項式定理以及統計。其中，尤其以函數和幾何較為難學，同時也是重點內容，要弄清楚它們各自的特點以及相互之間的聯繫，這些都是最基本的內容。而要做到這一點，首先就要對課本上的一些基本的概念、定理、公式瞭如指掌，用的時候才能從容不迫，信手拈來。但是，這些往往也是最容易被忽視的——大家都忙着做一道又一道的習題，買一本又一本厚厚的習題書，哪有時間去看課本？

有些同學可能會想，數學又不是、，書上的習題又大都極簡單，何必看課本呢？殊不知，課本對於數學來説，也是很重要的。數學有20%的基礎題目，只要花上一點點時間把課本好好看看，要拿下這些題易如反掌；反之，要是對一些基本的概念、定理都含混不清，不但基礎題會失分，難題也不可能做得很好，畢竟這些都是基礎啊。數學的邏輯性、分析性極強，可以説是一種純理性的科學，要求一定要清晰明瞭，是不太可能出現做出題目卻不知是如何做對的情況的，因而基礎知識十分重要。

其次，相當多的習題自然是必不可少的。在理解了基本的概念以後，必須要做大量的練習，這樣才能鞏固所學到的知識，加深對概念的瞭解。所謂熟能生巧，數學最能體現這句話的哲理性。數學的思維、解題的技巧，只有在做題中摸索，印象才會深刻，運用起來才會得心應手。當然，這並不是提倡題海戰術，適量就可，習題做得太多，很容易產生厭煩情緒。最重要的還是選題，一定要選好題、精題。在這一方面，的建議是很值得考慮的，最好買推薦的參考。同時做題還要根據自己的實際情況。一般而言，要先做基礎題，把基礎打牢固，然後再逐步加深難度，做一些提高性的題目。每一個知識點都要做一定量的上難度的題來鞏固，這樣才能將其牢牢掌握做完每個題之後，要回頭看一遍（尤其是難題），想想做這一題有什麼收穫，這樣，就不會做了很多題卻沒有什麼效果。

運算也是很重要的一個環節，與的重要性不相上下。培養一種發散性思維，尋求解題的多種，當然非常重要。但是，有一些同學，他們具有很強的思維，能夠從多種角度思考問題，可是計算卻不強，平時也不訓練，時往往是找對了卻算錯了答案，非常可惜。的確 高中政治，繁瑣的運算是令人望而生畏的，但是，在運算過程中你將發現許多新的問題，而運算也就在訓練中漸漸提高了。因而，數學方法要與計算並重。一方面，要重視做題方法的訓練，從多角度、多方面去思考問題；同時，也要注意鍛鍊計算能力，注重計算的精確性，而不能偏向一方。

總結。把專題的卷子和綜合的卷子分門別類，每一份都進行認真細緻的總結，挑出其中含金量最高的題，同時，“旁徵博引”，把曾經遇到過的相關的題目總結到一起，一道也不放過。這樣總結下來，一定能對各類題型都能夠了如指掌，對出題者的出題角度也有了準確的把握。通過對上百份的細緻歸納總結，很多同學的數學都有了大幅度的提高。需要強調的是在總結試卷的過程中一定要深入下去，千萬不能走形式，只有深入方能有所收穫。在深入的過程中不要在乎時間，有時候，在總結一道大題時，會把相關的題型總結到一起，這項其實是相當繁雜的，絕不等同於弄懂一道題。而做這項的收益也將是巨大的。所以，即使用一個晚上來做這件事也非常值得。千萬不要心情急躁，看見別人一道接一道的做題而不安。

平時的學習要注意以下幾點：

1、按部就班。數學是環環相扣的一門學科，哪一個環節脱節都會影響整個學習的進程。所以，平時學習不應貪快，要一章一章過關，不要輕易留下自己不明白或者理解不深刻的問題。

2、強調理解。概念、定理、公式要在理解的基礎上。每新學一個定理，嘗試先不看答案，做一次例題，看是否能正確運用新定理；若不行，則對照答案，加深對定理的理解。

3、基本訓練。學習數學是不能缺少訓練的，平時多做一些難度適中的練習，當然莫要陷入死鑽難題的誤區，要熟悉大學聯考的題型，訓練要做到有的放矢。

4、重視平時考試出現的錯誤。訂一個錯題本，專門蒐集自己的錯題，這些往往就是自己的`薄弱之處。複習時，這個錯題本也就成了寶貴的複習資料。

的學習有一個循序漸進的過程，妄想一步登天是不現實的。熟記書本內容後將書後習題認真寫好，有些同學可能認為書後習題太簡單不值得做，這種想法是極不可取的，書後習題的作用不僅幫助你將書本內容記牢，還輔助你將書寫格式規範化，從而使自己的解題結構緊密而又嚴整，公式定理能夠運用的恰如其分，以減少考試中無謂的失分。

大學聯考數學複習指導的五個方面

1、拓實基礎，強化通性通法

對基礎的考查既全面又突出重點 高中化學。抓基礎就是要重視對教材的，尤其是要重視概念、公式、法則、定理的形成過程，運用時注意條件和結論的限制範圍，理解教材中例題的典型作用，對教材中的練習題，不但要會做，還要深刻理解在解決問題時題目所體現的。

2、認真閲讀説明，減少無用功

在平時練習或進行模擬考試時，要注意培養考試心境，養成良好的習慣。首先認真對考試説明進行領會，並要按要求去做，對照説明後的題例，體會説明對知識點是如何考查的，瞭解説明對每個知識的要求，千萬不要對知識的要求進行拔高訓練。

3、抓住重點內容，注重培養

數學主體內容是支撐整個數學最重要的部分，也是進入必須掌握的內容，這些內容都是每年必考且重點考的。象關於函數(含三角函數)、平面向量、直線和圓錐曲線、線面關係、數列、概率、導數等，把它們作為複習中的重中之重來處理，要一個一個專題去落實，要通過對這些專題的複習向其他知識點輻射。

4、關心動態，注意題型變化

由於新增內容是當前社會生活和生產中應用比較廣泛的內容，而與大學接軌內容則是進入大學後必須具備的知識，因此它們都是大學聯考必考的內容，因此一定要把諸如概率與統計、導數及其應用、推理與證明、算法初步與框圖的基本要求有目的的進行復習與訓練。一定要用新的教學理念進行數學教學與複習，

5、細心審題、耐心答題，規範準確，減少失誤

計算能力、邏輯推理能力是考試大綱中明確規定的兩種培養的能力。可以説是學好數學的兩種最基本能力，在數學中的考查無處不在。並且在每年的閲卷中因為這兩種能力不好而造成的失分佔有相當的比例。

高中數學學習方法1234

高中數學學習方法之我見

1一本書

就是教科書，這是基礎的基礎，但是被中等生最忽視的。筆者高中時，先看教科書再做題，所以往往同學做到第5題，我才剛開始，但當我做了20題時，反過來發現同學做到第17題，這就是磨刀不誤砍柴工。最後不僅省時，而且比同學多鞏固了書本知識，然後從書本原理到題目及從題目到原理走了一個來回，培養了以理論解決實際問題的能力，提高了以不變應萬變的能力。一句話，省時又高效。為擺脱題海打下了基礎。

2兩方法

1）找到已知與求解的“橋樑”。主要針對中等題及難題，利用已知，推一步或幾步，完成轉化，從求解往後推幾步，看看還缺什麼，再去回憶腦袋裏的知識點及解過的經典題，把已知與求解的差距補上，這個就是“橋樑”原理。

2）有些題按上述方法還遇到困難，可能需要另闢蹊徑，如從定義出發或需要再審視已知條件，可能還未用盡已知條件或有些暗含的已知條件未挖掘出來。

3三部曲:

1）先看教科書，真正搞懂課本例題,並做課後練習(雖然看上去很簡單,但是實質上就是要你檢查自己是否真的掌握這些基本知識點.),

2）利用歷年大學聯考真題, 這些題很有價值，先掩着答案，根據你之前課本學的基礎內容,嘗試自己親自動手做一下,再對答案,明白其原理.，真正弄懂它，看看能否舉一反三，可問老師及同學，也可請家教，最後達到觸類旁通。

3）同步練習,必須緊跟課程,不能賴下來的,一步一個腳印去做.

數學知識點較多,容易忘記,但以上的步驟你都能做到的話,那麼就不那麼容易遺忘,即使忘記,你也可以翻閲以前的內容重新鞏固一遍.

4四層次

1）

基本知識點。含概念、定義、定理、公式等，這是基礎，這個不過關，其他免談。筆者平時先看教科書，就是這個道理。--這部分，雖然重要，但筆者輔導不作重點，只是檢查與提醒，因為可自學及問自己老師同學。會這個的人太容易找到了。

2）

數學思想與數學技能。數學思想如方程函數思想、數形結合思想、對稱思想、分類討論思想，化歸思想；數學技能如配方、待定係數法等。筆者由於這方面強，故多年不做題或見到陌生題均不慌，因為這些思想能力是深入骨髓的。

3）

數學模型與中間結論。數學模型就是具體題目的解題套路，中間結論可使學生減少解題步驟，加快解題速度，減少出錯機會。這些有了2數學思想與數學技能，就能自己推導出來，但要注意總結與積累。

4）

特殊解題技巧。這個要求以上3方面都較強，聰明加靈感，平時善於總結與歸納，看透事物本源，熟能生巧，觸類旁通。故對中等生不作過高要求，所謂可遇而不可求。筆者對大學聯考實考試卷的選擇與填空，特別是選擇，有相當部分，有的試卷甚至一半以上可在題讀完後，幾秒得出正確答案。憑的就是這個本事。