高中函數基本性質知識點總結
知識點概述
關於函數的基本性質的知識點是一個系統的知識體系,需要重點掌握.
知識點總結
1.函數的有關概念
函數的概念:設A、B是非空的數集,如果按照某個確定的對應關係f,使對於集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那麼就稱f:AB為從集合A到集合B的一個函數.記作: y=f(x),xA.其中,x叫做自變量,x的取值範圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值,函數值的集合{f(x) xA }叫做函數的值域.
注意:如果只給出解析式y=f(x),而沒有指明它的定義域,則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合; 函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式.
2.定義域補充
能使函數式有意義的實數 x 的集合稱為函數的定義域,求函數的定義域時列不等式組的主要依據是:
(1) 分式的分母不等於零;
(2) 偶次方根的被開方數不小於零;
(3) 對數式的真數必須大於零;
(4) 指數、對數式的底必須大於零且不等於 1.
(5) 如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的 . 那麼,它的定義域是使各部分都有意義的 x 的值組成的集合 .
(6)指數為零底不可以等於零
構成函數的三要素:定義域、對應關係和值域
再注意:
(1)構成函數三個要素是定義域、對應關係和值域.由於值域是由定義域和對應關係決定的,所以,如果兩個函數的定義域和對應關係完全一致,即稱這兩個函數相等(或為同一函數)
(2)兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關係完全一致,而與表示自變量和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法:①表達式相同;②定義域一致 (兩點必須同時具備)
值域補充
( 1 )、函數的值域取決於定義域和對應法則,不論採取什麼方法求函數的值域都應先考慮其定義域 .
( 2 ) . 應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域,它是求解複雜函數值域的.基礎 .
( 3 ) . 求函數值域的常用方法有:直接法、反函數法、換元法、配方法、均值不等式法、判別式法、單調性法等 .
3. 函數圖象知識歸納
(1) 定義:在平面直角座標系中,以函數 y=f(x) , (x A)中的 x 為橫座標,函數值 y 為縱座標的點 P(x , y) 的集合 C ,叫做函數 y=f(x),(x A)的圖象.
C 上每一點的座標 (x , y) 均滿足函數關係 y=f(x) ,反過來,以滿足 y=f(x) 的每一組有序實數對 x 、 y 為座標的點 (x , y) ,均在 C 上 . 即記為 C={ P(x,y) y= f(x) , x A }
圖象 C 一般的是一條光滑的連續曲線 ( 或直線 ), 也可能是由與任意平行與 Y 軸的直線最多隻有一個交點的若干條曲線或離散點組成 .
(2) 畫法
A、描點法:根據函數解析式和定義域,求出 x,y 的一些對應值並列表,以 (x,y) 為座標在座標系內描出相應的點 P(x, y) ,最後用平滑的曲線將這些點連接起來 .
B、圖象變換法(請參考必修4三角函數)
常用變換方法有三種,即平移變換、伸縮變換和對稱變換
(3) 作用:
1 、直觀的看出函數的性質;
2 、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發現解題中的錯誤。
4.快去了解區間的概念
(1)區間的分類:開區間、閉區間、半開半閉區間;
(2)無窮區間;
(3)區間的數軸表示.
5.什麼叫做映射
一般地,設A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應法則f,使對於集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應,那麼就稱對應f:A B為從集合A到集合B的一個映射。記作f:A B
給定一個集合A到B的映射,如果aA,bB.且元素a和元素b對應,那麼,我們把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
説明:函數是一種特殊的映射,映射是一種特殊的對應,
①集合A、B及對應法則f是確定的;
②對應法則有方向性,即強調從集合A到集合B的對應,它與從B到A的對應關係一般是不同的;
③對於映射f:AB來説,則應滿足:
(Ⅰ)集合A中的每一個元素,在集合B中都有象,並且象是唯一的;
(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中對應的象可以是同一個;
Ⅲ)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。
常用的函數表示法及各自的優點:
函數圖象既可以是連續的曲線,也可以是直線、折線、離散的點等等,注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據;
解析法:必須註明函數的定義域;
圖象法:描點法作圖要注意:確定函數的定義域;化簡函數的解析式;觀察函數的特徵;
列表法:選取的自變量要有代表性,應能反映定義域的特徵.
注意啊:解析法:便於算出函數值。列表法:便於查出函數值。圖象法:便於量出函數值
補充一:分段函數 (參見課本P24-25)
在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的範圍裏求函數值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程,而就寫函數值幾種不同的表達式並用一個左大括號括起來,並分別註明各部分的自變量的取值情況.
(1)分段函數是一個函數,不要把它誤認為是幾個函數;
(2)分段函數的定義域是各段定義域的並集,值域是各段值域的並集.
補充二:複合函數
如果 y=f(u),(u M),u=g(x),(xA),則 y=f[g(x)]=F(x),(xA) 稱為f、g的複合函數。
常見考點考法
關於值域 定義域的考核是重點
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