《函數的基本性質》知識點總結

基礎知識：

1.奇偶性

（1）定義：如果對於函數f(x)定義域內的任意x都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函數；如果對於函數f(x)定義域內的任意x都有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數。如果函數f(x)不具有上述性質，則f(x)不具有奇偶性.如果函數同時具有上述兩條性質，則f(x)既是奇函數，又是偶函數。

注意：

①函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質；

②由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對於定義域內的任意一個x，則－x也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關於原點對稱）。

（2）利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：

①首先確定函數的定義域，並判斷其定義域是否關於原點對稱；

②確定f(－x)與f(x)的關係；

③作出相應結論：

若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函數。

（3）簡單性質：

①圖象的對稱性質：一個函數是奇函數的充要條件是它的圖象關於原點成中心對稱；一個函數是偶函數的充要條件是它的圖象關於y軸成軸對稱；

②設f(x)，g(x)的定義域分別是D1,D2，那麼在它們的公共定義域上：

奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

2.單調性

（1）定義：一般地，設函數y=f(x)的定義域為I， 如果對於定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)f(x2)），那麼就説f(x)在區間D上是增函數（減函數）；

注意：

①函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函數的局部性質；

②必須是對於區間D內的任意兩個自變量x1，x2；當x1<x2時，總有f(x1)<f(x2)。

（2）如果函數y=f(x)在某個區間上是增函數或是減函數，那麼就説函數y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D叫做y=f(x)的單調區間。

（3）設複合函數y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定義域的某個區間，B是映射g : x→u=g(x) 的象集：

①若u=g(x) 在 A上是增

（或減）函數，y= f(u)在B上也是增（或減）函數，則函數y= f[g(x)]

在A上是增函數；

②若u=g(x)在A上是增（或減）函數，而y= f(u)在B上是減（或增）函數，則函數y= f[g(x)]在A上是減函數。

（4）判斷函數單調性的方法步驟

利用定義證明函數f(x)在給定的區間D上的單調性的一般步驟：

①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③變形（通常是因式分解和配方）； ④定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；⑤下結論（即指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）。

（5）簡單性質

①奇函數在其對稱區間上的單調性相同；

②偶函數在其對稱區間上的單調性相反；

③在公共定義域內：

增函數f(x)增函數g(x)是增函數；減函數f(x)減函數g(x)是減函數； 增函數f(x)減函數g(x)是增函數；減函數f(x)增函數g(x)是減函數。

④若函數yf(x)是偶函數，則f(xa)f(xa)；若函數yf(xa)是偶函數，則f(xa)f(xa).

3.函數的週期性

如果函數y＝f(x)對於定義域內任意的x，存在一個不等於0的常數T，使得f(x＋T)＝f(x)恆成立，則稱函數f(x)是周期函數，T是它的一個週期.

性質：

①如果T是函數f(x)的週期，則kT(k∈N＋)也是f(x)的週期.

②若周期函數f(x)的週期為T，則f(x)（0）是周期函數，且週期為T||。

③若f(x)f(xa),則函數yf(x)的圖象關於點(,0)對稱; 若a2f(x)f(xa),則函數yf(x)為週期為2a的周期函數.

例題： 1.y1x2的遞減區間是 ；ylog1(x3x2)的單調遞增區間是 。 1x22.函數f(x)lg(21)的圖象（ ） 1xA.關於x軸對稱B. 關於y軸對稱C. 關於原點對稱 D. 關於直線yx對稱

3.設f(x)是定義在R上的奇函數，若當x0時，f(x)log3(1x)，則f(2)。

4.定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x2)f(x2)，若f(x)在[2,0]上遞增，則（ ）

A.f(1)f(5.5)B．f(1)f(5.5)C．f(1)f(5.5)D．以上都不對

5.討論函數f(x)x1的單調性。

6.已知奇函數f(x)是定義在(2,2)上的'減函數,若f(m1)f(2m1)0，求實數m 的取值範圍。

7.已知函數f(x)的定義域為N，且對任意正整數x，都有f(x)f(x1)f(x1)。若f(0)2004，求f(2004)。

習題：

題型一：判斷函數的奇偶性

1.以下函數：（1）y1(x0)；（2）yx1；（3）y2；（4）ylog2x；（5）x4xx2；其中奇函數是 ，偶函數是 ，ylog2(xx1)，(6)f(x)x222非奇非偶函數是。

2.已知函數f(x)=xx,那麼f(x)是( )

A.奇函數而非偶函數 B. 偶函數而非奇函數

C.既是奇函數又是偶函數 D.既非奇函數也非偶函數

題型二：奇偶性的應用

1.已知偶函數f(x)和奇函數g(x)的定義域都是(-4,4),它們在4,0上的圖像分別如 圖（2-3）所示，則關於x的不等式f(x)g(x)0的解集是_____________________。

圖(2-3)

2.已知f(x)ax7bx5cx3dx5，其中a,b,c,d為常數，若f(7)7，則f(7)____

3.下列函數既是奇函數，又在區間1,1上單調遞減的是（）

A.f(x)sinx B.f(x)xC.f(x)1x2xaaxD.f(x)ln 22x

4.已知函數yf(x)在R是奇函數，且當x0時，f(x)x22x，則x0時，f(x)的 解析式為 。

5.若fx是偶函數,且當x0,時, fxx1,則fx10的解集是（ ）

A.x1x0 B. xx0或1x2 C. x0x2 D. x1x2 題型三：判斷證明函數的單調性

1.判斷並證明f(x)

22在(0,)上的單調性 x12.判斷f(x)2x2x1在(,0)上的單調性

題型四：函數的單調區間

1.求函數ylog0.7(x23x2)的單調區間。

2.下列函數中，在(,0)上為增函數的是（ ）

24x8 3(a0) C.y2 1(x) x12

3.函數f(x)x

A.0,1的一個單調遞增區間是（ ） xB.,0C.0,1D.1,

4.下列函數中，在(0，2)上為增函數的是( )A.y=-3x+1 B.y=|x+2| C.y=

5.函數y=54xx2的遞增區間是( )

A.(-∞，-2)B.[-5，-2] C.[-2，1]D.[1，+∞)

題型五：單調性的應用

1.函數f(x)=x+2(a-1)x+2在區間(-∞，4)上是減函數，那麼實數a的取值範圍是( )

A.[3，+∞ ) B.(-∞，-3] C.{-3}D.(-∞，5]

2.已知函數f(x)=2x-mx+3，當x∈(-2，+∞)時是增函數，當x∈(-∞，-2)時是減函數，則f(1)等於( )

A.-3B.13C.7 D.由m而決定的常數． 2242 D.y=x-4x+3 x

3.若函數f(x)x3ax2bx7在R上單調遞增，則實數a, b一定滿足的條件是（ ）

A．a3b0B.a3b0 22C．a3b0 2D．a3b1 2

4.函數f(x)3ax2b2a,x[1,1],若f(x)1恆成立，則b的最小值為 。

5.已知偶函數f(x)在(0，+∞)上為增函數，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。 題型六：週期問題

1.奇函數f(x)以3為最小正週期，f(1)3，則f(47)為( )

A.3B.6C.-3 D.-6

2.設f(x)是定義在R上以6為週期的函數，f(x)在(0,3)內單調遞增，且y=f(x)的圖象關於直線x =3對稱，則下面正確的結論是()

A.f(1.5)<f(3.5)<f(6.5) B.f(3.5)<f(1.5)<f(6.5)

C.f(6.5)<f(3.5)<f(1.5) D.f(3.5)<f(6.5)<f(1.5)

x3.已知fx為偶函數,且f2xf2x,當2x0時,fx2,則f2006

（ ）

A．2006 B．4C．4 D． 1 4

4.設f(x)是(,)上的奇函數，f(x2)f(x)，當0x1時，f(x)x，則f(47.5)等於_____

5.已知函數f(x)對任意實數x,都有f(x＋m)＝－f(x),求證:2m是f(x)的一個週期.

6、已知函數f(x)對任意實數x,都有f(m＋x)＝f(m－x)，且f(x)是偶函數,

求證:2m是f(x)的一個週期.

7、函數f(x)是定義在R上的奇函數，且f(－1)＝3，對任意的x∈R，均有f(x＋4)＝f(x)＋f⑵，求f(2001)的值.