高一數學公式之等比等差公式
等比數列公式
如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比等於同一個常數,這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比,公比通常用字母q表示。
(1)等比數列的通項公式是:An=A1×q^(n-1)
若通項公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當q>0時,則可把an看作自變量n的函數,點(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一羣孤立的點。
(2) 任意兩項am,an的關係為an=am·q^(n-m)
(3)從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出:a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}
(4)等比中項:aq·ap=ar^2,ar則為ap,aq等比中項。
記πn=a1·a2…an,則有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
另外,一個各項均為正數的等比數列各項取同底數數後構成一個等差數列;反之,以任一個正數C為底,用一個等差數列的`各項做指數構造冪Can,則是等比數列。在這個意義下,我們説:一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。
性質:
①若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,則am·an=ap·aq;
②在等比數列中,依次每k項之和仍成等比數列.
“G是a、b的等比中項”“G^2=ab(G≠0)”.
(5) 等比數列前n項之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an*q)/(1-q)(q≠1)Sn=n*a1 (q=1)
在等比數列中,首項A1與公比q都不為零.
注意:上述公式中A^n表示A的n次方。
等比數列在生活中也是常常運用的。
如:銀行有一種支付利息的方式---複利。
即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,
再計算下一期的利息,也就是人們通常説的利滾利。
按照複利計算本利和的公式:本利和=本金*(1+利率)^存期
等差數列公式
等差數列的通項公式為:an=a1+(n-1)d
或an=am+(n-m)d
前n項和公式為:Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=(a1+an)n/2
若m+n=p+q則:存在am+an=ap+aq
若m+n=2p則:am+an=2ap
以上n均為正整數
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