求不定積分方法總結

大學數學不定積分是基本內容，那麼，今天，小編給大家分享的是求不定積分方法總結，供大家閲讀參考。

1、不定積分的線性性

成立的前提是，f和g都有不定積分！

這個性質在計算不定積分時，經常用！一般都是把難計算的不定積分，轉化為一個個容易計算的不定積分。例題就不説了，看書。

2、分部積分法

這是一個很有效的計算積分的辦法！一定要掌握！

從本師的教學經驗來看（別丟雞蛋！），初學者（就是你們了！）往往在兩個地方犯難：

（1）不知道怎麼湊微分

（2）不知道把誰當u，誰當v

另外，一個不定積分的計算，可能需要好幾次分部積分。我們來道普通的例題。

3、有理函數的積分

有理函數的積分，是一類常見的不定積分。它有一套通用的辦法求解，並且很多不定積分，經過適當的換元后，可以轉化成有理函數的不定積分來計算！所以，這種類型的不定積分，一定要掌握！

其中P和Q是x的多項式函數。

這個類型的積分，主要是通過拆項，化成簡單的不定積分來計算。

下面的步驟，其實就是教你怎麼拆項。

(1) 用輾轉相除法，將被積函數化成一個多項式和“真分式”的和：

(2)

h(x)是多項式函數，積分不要太簡單！現在就是要計算右邊這個積分了。

(3)

對Q(x)因式分解。因為我們考慮的是實係數多項式，由＊＊定理，多項式Q(x)一定能分解成下面兩種類型的`因子的乘積：

(4) 利用待定係數法，將r/Q拆分，拆成簡單的分式的和。舉例説明：

然後，右邊同分，比較等式兩邊分子的係數。

這樣就會得到待定係數的一個一次方程組，解之（非常簡單），算出待定係數。

例子1

例子2

後面都會，不寫了。記得反帶回去，最後要是x的表達式！還有每日＋C！

4、 第一類換元（湊分法）u=g(x)，主要是要記牢常見的求導公式，然後多從右往左看。

5、第二類換元，x=u(t)

要注意，u(t)必須是單調的！所以一般要指明t的取值範圍。這裏，換元的技巧非常多，本師也只掌握了其中一些常用的。

(1) 倒代換 x=1/t

使用的對象特徵很明顯

來個例子

t<0時，類似處理，最後再下結論。

(2)

這種形狀的積分，直接換元掉根號。

例子説明一切！

(3) 三角換元

這是讓大家又愛又恨的積分法。愛是因為它實在是太好用了，恨是因為它實在是太多選擇太多恆等變化了！

這種情況，用合適的三角函數去換元。注意，換元的目的，在這裏是為了去掉根號，以便達到簡化被積函數的目的。知道這一點，你就知道如何選擇三角函數了。另外，注意新變量的取值範圍，以保證單調性。

書上有太多這樣的例題，這裏不列舉了。

下面主要和大家分享下三角函數有理式（三角函數的乘除）的計算技巧。

(i)遇奇次冪，拿一個出來，湊到微分裏

(ii)都是偶數次冪，倍角公式降冪

(iii)積化和差公式

(iv)當三角函數冪次較低時，使用萬能公式換元

(v) 配湊法

解之，得I_1,I_2.