二次根式的知識點總結
知識點一: 二次根式的概念
形如a(a0)的式子叫做二次根式。
注:在二次根式中,被開放數可以是數,也可以是單項式、多項式、分式等代數式,但必須注意:因為負數沒有平方根,所以a0是a為二次根式的前提條件,如5,(x2+1),
(x-1) (x1)等是二次根式,而(-2),(-x2-7)等都不是二次根式。
知識點二:取值範圍
1. 二次根式有意義的條件:由二次根式的意義可知,當a0時a有意義,是二次根式,所以要使二次根式有意義,只要使被開方數大於或等於零即可。
2. 二次根式無意義的條件:因負數沒有算術平方根,所以當a?0時,a沒有意義。
知識點三:二次根式a(a0)的非負性
a(a0)表示a的算術平方根,也就是説,a(a0)是一個非負數,即
0(a0)。
注:因為二次根式a表示a的算術平方根,而正數的算術平方根是正數,0的算術平方根是0,所以非負數(a0)的`算術平方根是非負數,即0(a0),這個性質也就是非負數的算術平方根的性質,和絕對值、偶次方類似。這個性質在解答題目時應用較多,如若a+b=0,則a=0,b=0;若a+|b|=0,則a=0,b=0;若a+b2=0,則a=0,b=0。
知識點四:二次根式(a) 的性質
(a)2=a(a0)
文字語言敍述為:一個非負數的算術平方根的平方等於這個非負數。
注:二次根式的性質公式(a)2=a(a0)是逆用平方根的定義得出的結論。上面的公式也可以反過來應用:若a0,則a=(a)2,如:2=(2)2,1/2=(1/2)2.
知識點五:二次根式的性質
a2=|a|
文字語言敍述為:一個數的平方的算術平方根等於這個數的絕對值。
注:
1、化簡a2時,一定要弄明白被開方數的底數a是正數還是負數,若是正數或0,則等於a本身,即a2=|a|=a (a若a是負數,則等於a的相反數-a,即a2=|a|=-a (a?0);
2、a2中的a的取值範圍可以是任意實數,即不論a取何值,a2一定有意義;
3、化簡a2時,先將它化成|a|,再根據絕對值的意義來進行化簡。
知識點六:(a)2與a2的異同點
1、不同點:(a)2與a2表示的意義是不同的,(a)2表示一個非負數a的算術平方根的平方,而a2表示一個實數a的平方的算術平方根;在(a)2中,而a2中a可以是正實數,0,負實數。但(a)2與a2都是非負數,即(a)20,a20。因而它的運算的結果是有差別的,(a)2=a(a0) ,而a2=|a|。
2、相同點:當被開方數都是非負數,即a0時,
(a)2=a?0時,(a)2無意義,而a2=|a|=-a.
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