四元消法的發展歷史

天元術出現後不久又出現了天元、地元兩個未知數，又出現了天元、地元、人元3個未知數，最後推到天元、地元、人元、物元“四元術”，即用天、地、人、物作未知數表列的四元高次方程組。祖頤在為朱世傑的《四元玉鑑》所作的後序中，在敍述由天元發展到四元的過程時説：“平陽李德載因撰兩儀羣英集臻兼有地元，霍山邢先生頌不高弟劉大鑒潤夫撰乾坤括囊末僅有人元二問，吾友燕山朱漢卿（世傑）先生演數有年，探三才之賾，索九章之隱，按天、地、人、物，立成四元。”李德載、劉大鑒的著作已無傳本，關於四元術內容的記載目前主要見朱世傑的《四元玉鑑》。朱氏《四元玉鑑》對高次方程組有固定的記法。

四元術的.解題用四元消法，即把四元消去一元變成三元三式，再消去一元變成二元二式，再消去一元就得到一個只含一元的天元開方式，然後用增乘開方法求正根，並用分數表示正有理根或無理根的近似值。以朱世傑的《四元玉鑑》為例，其二元多行式的消法是採用“互隱通分相消”，及所謂“左右進退”、“橫衝直撞”等方法，即由該方程組經過變形得到一個一元的高次方程。三元式和四元式的消法又採用“剔而消之”法，使該方程式最後亦變為一個一元的高次方程。

運用四元消法可解決求解任意四元高次方程組的問題，使之化為一元進而解決之。在歐洲，高次方程組的消去法問題，只有到了18世紀法國數學家別卓（Bēzout，1779年）的著作中才有系統的敍述，後又經英國數學家西勒維思特（Sylvester，1840年）和凱雷（A·cayley，1852年）等人的工作，方才出現了完整的消去法理論，比我國元代晚400—500年。並且歐洲數學家們所建立起來的乃是着重討論消去的可能性以及普遍的消去法理論，在解決具體的多元高次方程組方面，我國元代的消去法至今仍有一定的參考價值。