會考數學壓軸題目及答案

（1）先求解下列兩題：

① 如圖①，點B、D在射線AM上，點C、E在射線AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度數；

② 如圖②，在直角座標系中，點A在y軸正半軸上，AC∥x軸，點B、C的橫座標都是3，且BC=2，點D在AC上，且橫座標為1，若反比例函數y=(x＞0)的圖象經過點B、D，求k的值。

（2）解題後，你發現以上兩小題有什麼共同點？請簡單寫出。 解：（1）① ∵在△ADE中，∠EDM=∠A+∠AED

∴∠AED=∠EDM-∠A ∵CD=DE ∴∠AED=∠DCE ∴∠DCE=∠EDM-∠A

∵在△ACD中，∠DCE=∠A+∠ADC ∴∠ADC=∠DCE-∠A

=∠EDM-2∠A

∵BC=CD ∴∠ADC=∠DBC ∴∠DBC=∠EDM-2∠A

∵在△ABC中，∠DBC=∠A+∠ACB ∴∠ACB=∠DBC-∠A

=∠EDM-3∠A

∵AB=BC ∴∠A=∠ACB

k

x

∴∠A=∠EDM-3∠A ∴∠A=1

4

∠EDM ∵∠EDM=84° ∴∠A=21°

② ∵點B在反比例函數圖象上，且橫座標為3 ∴可設點B的座標為（3，k3

） ∵C的橫座標是3，且BC=2 ∴點C的座標為（3，k3

2） ∵D的橫座標為1，且AC∥x軸 ∴點D的座標為（1，k3

2） ∵點D在反比例函數圖象上 ∴1·（k3

2）=k ∴k

=3

（2）兩小題的共同點是：用已知的量通過一定的等量關係去表示未知的量，建立方程解答問題

如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，對稱中心為點P，點F為BC邊上一個動點，點E在AB邊上，且滿足條件∠EPF=45°，圖中兩塊陰影部分圖形關於直線AC成軸對稱，設它們的面積為S1. （1）求證：∠APE=∠CFP；

（2）設四邊形CMPF的面積為S2，CF=x，y=S1。

S2

① 求y關於x的函數解析式和自變量x的取值範圍，並求出y的最大值； ② 當圖中兩塊陰影部分圖形關於點P成中心對稱時，求y的值。 解：（1）過點P作PG⊥AB於G，PH⊥BC於H。

∵AC是正方形ABCD的對角線 ∴∠HPC=∠HCP=45° ∵∠EPF=45°

∴∠APE+∠HPF=180°-∠EPF-∠HPC=90° ∵∠PHF=90° ∴∠CFP+∠HPF=90° ∴∠APE=∠CFP

（2）①∵P是正方形ABCD的對稱中心，邊長為4

∴PH=GP=2，

∵CF=x ∴S△PFC=CF·PH=x ∴S2=2S△PFC=2x

∵∠APE=∠CFP，∠PAE=∠PCF=45° ∴△APE∽△CFP AEAP

= CPCF

12

∴AE=

APCP8

CF

x182x1

∵S△ABC=AB·BC=8

2

∴S△APE=AE·GP=

∴S四邊形BFPE=S△ABC-S△APE-S△PFC=8--x ∴S1=2S四邊形BFPE=16-∴y=S1=

S2

8

x

16

-2x x

16

16 2x

88 2 1

2xxx

∵點F在BC邊上，點E在AB邊上，且∠EPF=45° ∴2≤x≤4

11x211∴當 ，即x=2時，y有最大值，最大值為1

x2

∵y= 8( )2 1

② 因為兩塊陰影部分圖形關於直線AC成軸對稱，要使其關於點P成中心對稱，則兩塊陰影部分圖形還要關於直線BD成軸對稱，此時BE=BF

∴AE=CF

則=x，得x

捨去) ∴x

8x

∴y

=

888 1

1

x2x8

已知二次函數y=a(x-m)2-a(x-m)（a、m為常數，且a≠0）。 （1）求證：不論a與m為何值，該函數與x軸總有兩個公共點；

（2）設該函數的'圖象的頂點為C，與x軸交於A、B兩點，與y軸交於點D。 ① 當△ABC的面積等於1時，求a的值；

② 當△ABC的面積與△ABD的面積相等時，求m的值。 解：（1）當y=0時，a(x-m)2-a(x-m)=0

∵a≠0

∴x2-(2m+1)x+m2+m=0 ∵Δ=(2m+1)2-4(m2+m)

=4m2+4m+1-4m2-4m =1＞0

∴方程a(x-m)2-a(x-m)=0恆有兩個不相等的實數根 故，不論a與m為何值，該函數與x軸總有兩個公共點 （2）由y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m)(x-m-1)=0

解得：x=m或m+1 ∴點A的座標為（m，0） 點B的座標為（m+1，0） ∴AB=m+1-m=1

① 由y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m-)2 -a得

11

2411

頂點C的座標為（m+，-a）

24

∵△ABC的面積等於1 ·1·|-a|=1 ∴a=±8

1

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