關於函數的教學設計

　　關於函數的教學設計1

教學目標：

一、 知識與技能

1、學會觀察、分析函數圖像信息．

2、體會數形結合思想，並利用它解決問題，提高解決問題的能力．

二、過程與方法

１、提高識圖能力、分析函數圖像信息的能力．

2、體會數形結合思想，並利用它解決問題，提高解決問題的能力．

三、情感態度與價值觀

１、體會數學方法的多樣性，提高學習興趣．

2、認識數學在解決問題中的重要作用，從而加深對數學的認識．

教學重點：

觀察分析圖像信息．

教學難點：

分析概括圖像中的信息．

教學方法：

整節課應以“開放、合作、探究”為基本特徵，給學生思考的空間和表現的機會，讓學生在一個較為輕鬆的環境中去體驗數學學習帶來的樂趣，構建充滿活力的課堂氛圍。

教具準備：

多媒體演示．

教學過程：

1、提出問題，創設情境

我們在前面學習了函數意義，並掌握了函數關係式的確立．但有些函數問題很難用函數關係式表達出來，然而可以通過圖來直觀反映。例如用心電圖表示心臟生物電流與時間的關係．

即使對於能列式表示的函數關係，如果也能畫圖表示則會使函數關係更清晰．

我們這節課就來解決如何畫函數圖像的問題及如何解讀函數圖像信息．

2、 導入新課

我們先來看這樣一個問題：

正方形的邊長x與面積s的函數關係是什麼？其中自變量x的取值範圍是什麼？計算並填寫下表：

生：函數關係式為s=x2，因為x代表正方形的邊長，所以自變量x＞0，將每個x的值代入函數式即可求出對應的s值．

師：好！如果我們在直角座標系中，將你所填表格中的自變量x及對應的函數值s當作一個點的橫座標與縱座標，即可在座標系中得到一些點．

大家思考一下，表示s與x的對應關係的點有多少個？如果全在座標中指出的話是什麼樣子？可以討論一下，然後發表你們的看法，建議大家不妨動手畫畫看．

生：這樣的點有無數多個，如果全描出來太麻煩，也不可能．我們只能描出其中一部分，然後想象出其他點的位置，用光滑曲線連接起來．

師：很好！這樣我們就得到了一幅表示s與x關係的圖。圖中每個點都代表s的值與x的值的一種對應關係。如點（1，1）表示x=1時，s=1、

一般地，對於一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱座標，那麼座標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖像。上圖中的曲線即為函數s=x2（x＞0）的圖像．

函數圖像可以數形結合地研究函數，給我們帶來便利．

[活動一]

活動內容設計：

下圖是自動測温儀記錄的圖像，它反映阿城的春季某天氣温T如何隨時間t的變化而變化。你從圖像中得到了哪些信息？

活動設計意圖：

１、 通過圖像進一步認識函數意義．

2、 體會圖像的直觀性、優越性．

3、 提高對圖像的分析能力、認識水平．

4、 掌握函數變化規律．

教師活動：

引導學生從兩個變量的對應關係上認識函數，體會函數意義；可以指導學生找出一天內最高、最低氣温及對應時間，在某些時間段的變化趨勢，認識圖像的直觀性及優缺點，總結變化規律……

學生活動：

在教師引導下，合作探究，歸納總結．

活動結論：

１、一天中每時刻t都有唯一的氣温Ｔ與之對應．可以認為，氣温Ｔ是時間t的函數．

2、這天中凌晨4時氣温最低為—3℃，14時氣温最高為8℃．

3、從0時至4時氣温呈下降狀態，即温度隨時間的增加而下降。從4時至14時氣温呈上升狀態，從14時至24時氣温又呈下降狀態．

4、 這天最高氣温與最低氣温之差為11℃。

5、我們可以從圖像中很直觀地看出一天中氣温變化情況及任一時刻的氣温大約是多少．

[活動二]

活動內容設計：

下圖反映的過程是小明從家去菜地澆水，又去玉米地鋤草，然後回家。 其中x表示時間，y表示小明離他家的距離，小明家、菜地、玉米地在同一條直線上。

觀察下面的圖像，你能發現哪些結論？

活動設計意圖：

書中例題是以5個問題的形式給出的，這裏以開放式出現，這樣的設計可以充分調動學生的熱情和興趣，鞏固知識的同時彰顯了學生的個性，並給學生設置了充分發揮的空間，在兼顧全體學生的同時，分散了難點。

教師活動：

引導學生分析圖像、尋找圖像信息，特別是圖像中兩段平行於x軸的線段的意義．

學生活動：

在教師引導下，積極思考、大膽參與、歸納總結．

活動結論：

１、 菜地離小明家1、1千米A，小明走到菜地用了15分鐘．

2、 小明給菜地澆水用了10分鐘．

3、 菜地離玉米地0。9千米。 小明從菜地到玉米地用了12分鐘．

4、 小明給玉米地鋤草用了18分鐘．

5、玉米地離小明家2千米。 小明從玉米地走回家用了25分鐘。 所以平均速度為2÷25=0。08（千米／分鐘）．

師：我們通過兩個活動已學會了如何觀察和分析圖像信息，那麼在觀察圖像時應該注意什麼問題呢？

生：弄清橫、縱座標表示的意義，自變量的取值範圍，圖像中函數隨着自變量變化的規律，抓住一些特殊點。

[活動三]

活動內容設計：

出示相關的`各類函數圖像問題。

活動設計意圖：

通過各類圖像習題的訓練，讓學生進一步體會圖像的直觀性，並熟練地找到圖像中重要的信息。

例1：小明今天到學校參加運動會，從家裏出發走10分鐘到離家500米的地方吃早餐，吃早餐用了20分鐘；再用10分鐘趕到離家1 000米的學校．下列圖像中，能反映這一過程的是（ ） ．

例2：李林和弟弟進行百米賽跑，李林比弟弟跑得快，如果兩人同時起跑，李林肯定贏．現在李林讓弟弟先跑若干米，圖中分別表示兩人的路程與李林追趕弟弟的時間的關係，由圖中信息可知，下列結論中正確的是（ ） ．

Ａ。李林先到達終點

Ｂ。弟弟的速度是8米／秒

Ｃ。弟弟先跑了10米

Ｄ。弟弟的速度是10米／秒

例3：下圖表示一輛汽車的速度隨時間變化的情況：

①汽車行駛了多長時間？它的最高時速是多少？

②汽車在哪些時間段保持勻速行駛？時速分別是多少？

③出發後8分鐘到10分鐘之間可能發生了什麼情況？

④用自己的語言大致描述這輛汽車的行駛情況。

例4：小明騎自行車上學，開始以正常速度勻速行駛，途中自行車出了故障，他只好停下來修車．車修好後，因怕耽誤上課，故加快速度繼續勻速行駛趕往學校．下列行駛路程（米）與時間（分）的函數圖像中，符合小明騎車行駛情況的圖像大致是（ ）。

例5：龜兔賽跑的故事，領先的兔子看着緩慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當它醒來時，發現烏龜快到終點了，於是急忙追趕，但已經來不及了，烏龜先到達了終點……現在用直線和折線分別表示二者所走的路程，t為時間，則下列圖像中：

① 哪個表示兔子，哪個表示烏龜？

② 兔子休息了多長時間？

③ 從中你能悟出什麼人生道理？

④將龜兔賽跑的故事改編並畫出相應的圖像。

3。 課時小結

本節通過兩個活動，學會了分析圖像信息，解答有關問題．這樣我們又一次利用了數形結合的思想．

4、 課後作業

P104 練習2、3。

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一、教材分析

這節課的內容是八年級（第二學期）第二十章“一次函數”的第二節“一次函數的圖像”的第三課時， 內容是結合一次函數圖像研究一次函數與一元一次方程以及一元一次不等式之間的關係。

一次函數解析式實際上也是二元一次方程，若已知y的值，則可得關於x的一元一次方程．若已經y大於（或小於）某個常數，則可得關於x的一元一次不等式．因此一次函數與一元一次方程、不等式有密切的關係．

學生在本節課之前已經學習過一次函數及其圖像，一元一次方程，一元一次不等式，通過本節的教學，可加強這些知識間的聯繫，發揮函數對相關內容的統領作用，能用一次函數可以把以前學習的方程和不等式等不同的數學概念統一起來，從而深化學生對方程與不等式的理解，使新舊知識融會貫通，促進學生良好知識結構的形成。同時也為進一步學習“三個二次之間的關係”打下基礎。

二、教學目標分析

1．能借助一次函數的圖像認識一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，理解一元一次方程、一元一次不等式與一次函數之間的內在聯繫。

2．經歷由具體到抽象、由直觀感知到得出一般結論的認知過程，體會數形結合的數學思想，提高由圖像獲取有用信息的能力以及分析與解決問題的能力。

3．經歷探索三個“一次”之間的內在聯繫的過程，感受知識之間的普遍聯繫，體會等與不等的辯證關係，更好地認識和掌握事物運動和變化的規律．

教學重點、難點

能以函數的觀點認識一元一次方程的解、一元一次不等式的解集。

三、教學問題診斷

在學習本課內容時，學生已經掌握了一元一次方程，一元一次不等式，一次函數等知識，會畫一次函數的圖像，會用代數方法解一元一次不等式。大部分的學生正在艱難的由形象思維向抽象思維發展。觀察力偏重於第一印象，仍用自己原有的認識與知識結構作出判斷，不會自覺利用直角座標系從函數的這種數形對應角度出發考慮，很難利用圖像中的信息分析和解決問題。基於上述情況，預測學生在理解一次函數與一元一次不等式之間的關係時會產生困難。

四、教法特點

1．突出數形結合的數學思想

由於數和形是數學中主要研究對象，它們各有所長，因此若能將二者結合起來，則可發揮各自的優勢．正如著名數學家華羅庚所説：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休”．本節課內容是滲透數形結合思想的良好載體，因此在教學設計過程中，我們力求讓學生充分體會這一數學思想方法．

本節課首先從引入情景出發，由兩個已知點，既可直接畫出一次函數的圖像，引入課題；呈現問題一之後，由於有了圖像，學生容易從圖像角度考慮問題，但從圖像只能得出近似值（這裏體現了“形缺數時難入微”），要得出精確值必須採用代數方法，從而想到應從數的角度來考慮問題．

在一次函數與一元一次方程關係討論結束之後提出問題二，在問題一討論的基礎上，學生已經知道一次函數圖像與x軸交點的橫座標，因此從形的角度馬上可以直觀地得出結果，這裏的求解過程又體現了數形結合思想（先用代數方法求出交點座標，然後根據圖形得出結論）；從形的角度討論結束之後，再提出還有沒有其它方法，學生自然會想到從數的角度來考慮．

在以上探究過程中，教師有意識地滲透，學生親歷與感悟，尤其是方法的選擇注重合理自然、水到渠成，可以使學生進一步明晰數與形各自的優點，從而使學生充分體會數形結合思想．

2．創設實際問題情景

數學來源於生活，數學應用於生活。世博是今年大家十分關注的一個話題，許多學生已經是多次進入園區參觀，大温度計上的數學問題來自於學生真實的日常生活，有利於激發學生學習數學的興趣，大家在不知不覺中進入了今天學習的內容。

在温度計的背景下，提出温度的兩種度量制度。圍繞這一情景提出瞭如下三個問題：第一個問題是畫出一次函數圖像，這既複習了舊知，又為新知的學習創造了條件；第二個問題是當華氏度為0時，攝氏度為多少？對這一問題從“數”與“形”兩個方面入手分析研究，得出了這個一次函數與相應一元一次方程之間的關係，然後推廣到一般情形；第三個問題是當華氏度大於（小於0）時，相應攝氏度應在什麼範圍內取值？對這一問題的研究得出了這個一次函數與相應一元一次不等式之間的關係。

3．充分展現知識的形成過程

本節課的教學設計遵從由特殊到一般、由具體到抽象、由直觀感知到得出一般結論這樣的認識過程。關於一次函數與一元一次方程關係的探討，先從實際問題入手，從形與數兩個角度進行研究，然後根據這一研究過程得出對於特殊的一次函數，它與一元一次方程的關係，然後將這一結論推廣到一般情形。關於一次函數與一元一次不等式關係的探討，也採用類似的處理方法。在本節課的教學設計中，尤其注重生成性，體現出數學內在的合諧與自然。對於函數與方程關係的討論，由於有了圖像但沒有給出函數解析式，先形後數自然而然；而對於函數與不等式的關係，在前面研究的基礎上，函數圖像與x軸交點橫座標已經知道，從形的角度考慮也非常自然；若無前面這一基礎，顯然應該從數的角度來加以討論更為自然．

4．通過問題驅動來激發思維

首先，由問題引發學生的思考，體會一次函數與一元一次方程之間的關係。這一部分的學習，比較多的學生能夠通過觀察得出具體的結論：一次函數圖像與x軸交點座標的橫座標就是此函數對應的一元一次方程的解。反之亦然。這一部分內容的學習不僅是本節課的重點之一，為接下來的難點突破打下了基礎。

接下來，繼續由問題引發學生的思考，這一部分的教學是本節課的重難點，相比較前一部分（一次函數與一元一次方程之間的關係）這部分的內容對於學生來説更抽象，更難以理解。為了幫助學生理解這部分內容，我設計了這幾個環節：

（1）通過思考問題2，學生找到圖像中符合條件的那一部分，為下面的從具體到抽象提供載體；在這裏問題的設計具有層次性，學生在問題中得到適當的引導與啟發，學生的積極性會很高，對於他們的回答我也都將給予充分的肯定與表揚。

（2）從具體問題入手，討論一次函數圖像與一元一次不等式之間的關係。為了使得學生深入理解這一問題且考慮到學生羣體學習能力的參差不齊，利用幾何畫板動態演示，追蹤符合條件的點的軌跡，使學生從圖像上直觀獲取符合條件的點的橫座標的取值範圍這一信息。

（3）在最後抽象到一般時採用先小組討論再全班交流的形式，這樣安排使學生形成自己對數學知識的理解並且進行了有效的學習，培養了學生數形結合的思想以及在交流中發展學生的合作意識和交流能力。

五、預期效果分析

總之，本節課採用觀察、探究、交流、歸納等多種教學方式，並配合多媒體操作演示、師生互動，給學生以充分展示自我的機會和平台，從而調動學生主動參與課堂教學的積極性，激發學生學習數學的熱情，培養了學生自主探究的能力，使之真正成為了學習的主人。然而，如何很好地調控學生，激發每一位同學的學習潛能，在今後的教學中還有待努力去探索。