關於數論問題試題分析

1、下列每個算式中，最少有一個奇數，一個偶數，那麼這12個整數中，至少有幾個偶數?

□+□=□ □-□=□ □×□=□ □÷□=□

2、任意取出1234個連續自然數，它們的總和是奇數還是偶數?

3、一串數排成一行，它們的規律是：前兩個數都是1，從第三個數開始，每一個數都是前兩個數的和。如：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…

試問：這串數的前100個數(包括第100個數)中，有多少個偶數?

4、能不能將1010寫成10個連續自然數之和?如果能，把它寫出來;如果不能，説明理由。

5、能否將1至25這25個自然數分成若干組，使得每一組中的最大數都等於組內其餘各數的和?

6、在象棋比賽中，勝者得1分，敗者扣1分，若為平局，則雙方各得0分。今有若干個學生進行比賽，每兩人都賽一局。現知，其中有一位學生共得7分，另一位學生共得20分，試説明，在比賽過程中至少有過一次平局。

7、在黑板上寫上1，2，…，909，只要黑板上還有兩個或兩個以上的數就擦去其中的任意兩個數a，b，並寫上a-b(其中a≥b)。問：最後黑板上剩下的是奇數還是偶數?

在整數中，有用2個以上的連續自然數的和來表達一個整數的方法.例如9：9=4+5，9=2+3+4，9有兩個用2個以上連續自然數的和來表達它的.方法.

(1)請寫出只有3種這樣的表示方法的最小自然數.

(2)請寫出只有6種這樣的表示方法的最小自然數.

分析：(1)關於某整數，它的“奇數的約數的個數減1“，就是用連續的整數的和的形式來表達種數;根據(1)知道，有3種表達方法，於是奇約數的個數為3+1=4，對4分解質因數4=2×2，最小的15(1、3、5、15);有連續的2、3、5個數相加;7+8;4+5+6;1+2+3+4+5;

(2)有6種表示方法，於是奇數約數的個數為6+1=7，最小為729(1、3、9、27、81、243、729)，有連續的2，3、6、9、10、27個數相加：

364+365;242+243+244;119+120+…+124;77+78+79+…+85;36+37+…+45;14+15+…+40.

解答：解：根據(1)知道，有3種表達方法，於是奇約數的個數為3+1=4，對4分解質因數4=2×2，最小的15(1、3、5、15);

有連續的2、3、5個數相加;7+8;4+5+6;1+2+3+4+5;

根據(2)知道，有6種表示方法，於是奇數約數的個數為6+1=7，最小為729(1、3、9、27、81、243、729)，

有連續的2，3、6、9、10、27個數相加：

364+365;242+243+244;119+120+…+124;77+78+79+…+85;36+37+…+45;14+15+…+40

8、設a1，a2，…，a64是自然數1，2，…，64的任一排列，令b1=a1-a2，b2=a3-a4，…，b32=a63-a64;c1=b1-b2，c2=b3-b4，…，c16=b31-b32;d1=c1-c2，d2=c3-c4，…，d8=c15-c16;……

這樣一直做下去，最後得到的一個整數是奇數還是偶數?

1、至少有6個偶數。

2、奇數。解：1234÷2=617，所以在任取的1234個連續自然數中，奇數的個數是奇數，奇數個奇數之和是奇數，所以它們的總和是奇數。

3、33。提示：這串數排列的規律是以“奇奇偶”循環。

4、不能。

如果1010能表示成10個連續自然數之和，那麼中間2個數的和應當是1010÷5=202。但中間2個數是連續自然數，它們的和應是奇數，不能等於偶數202。所以，1010不能寫成10個連續自然數之和。

5、不能。提示：仿例3。

6、證：設得7分的學生勝了x1局，敗了y1局，得20分的學生勝了x2局，敗了y2局。由得分情況知：

x1-y1=7，x2-y2=20。

如果比賽過程中無平局出現，那麼由每人比賽的場次相同可得x1+y1=x2+y2，即x1+y1+x2+y2是偶數。另一方面，由x1-y1=7知x1+y2為奇數，由x2-y2=20知x2+y2為偶數，推知x1+y1+x2+y2為奇數。這便出現矛盾，所以比賽過程中至少有一次平局。

7、奇數。解：黑板上所有數的和S=1+2+…+909是一個奇數，每操作一次，總和S減少了a+b-(a-b)=2b，這是一個偶數，説明總和S的奇偶性不變。由於開始時S是奇數，因此終止時S仍是一個奇數。

8、偶數。

解：我們知道，對於整數a與b，a+b與a-b的奇偶性相同，由此可知，上述計算的第二步中，32個數。

a1-a2，a3-a4，…，a63-a64，

分別與下列32個數。

a1+a2，a3+a4，…，a63+a64，

有相同的奇偶性，這就是説，在只考慮奇偶性時，可以用“和”代替“差”，這樣可以把原來的計算過程改為

第一步：a1，a2，a3，a4，…，a61，a62，a63，a64;

第一步：a1+a2，a3+a4，…，a61+a62，a63+a64;

第三步：a1+a2+a3+a4，…，a61+a62+a63+a64;

……

最後一步所得到的數是a1+a2+…+a63+a64。由於a1，a2，…，a64是1，2，…，64的一個排列，因此它們的總和為1+2+…+64是一個偶數，故最後一個整數是偶數

將1，2，3這3個數字選出1個、2個、3個按任意次序排列出來可得到不同的一位數、二位數、三位數，請將其中的質數都寫出來.

分析：按要求寫出所有一位數，二位數，三位數，然後選出質數即可.

解答：解：一位數為：1，2，3，

二位數為：12，13，21，23，31，32，

三位數為：123，132，213，231，312，321，

其中質數為2，3，13，23，31.