高一數學《兩角和與差的正切》教學案例

　　【學習導航】

1. 掌握兩角和與差的正切公式及其推導方法。

2. 通過公式的推導，瞭解它們的內在聯繫，培養邏輯推理能力。

3.能正確運用三角公式，進行簡單的三角函數式的化簡、求值和恆等變形。

　　教學重點：

　　學習重點

能根據兩角和與差的正、餘弦公式推導出兩角和與差的正切公式

學習難點

進行簡單的三角函數式的化簡、求值和恆等變形

　　【自學評價】

1.兩角和與差的正、餘弦公式

(a+b)公式的推導

∵cos (a+b)0

tan(a+b)=

當cosacosb0時, 分子分母同時除以cosacosb得：

以-b代b得：

其中 都不等於

3. 注意：

1°必須在定義域範圍內使用上述公式 tana，tanb，tan(a±b)只要有一個不存在就不能使用這個公式，只能用誘導公式.

2°注意公式的結構，尤其是符號.

4.請大家自行推導出cot(a±b)的'公式—用cota，cotb表示

當sinasinb0時,cot(a+b)=

同理，得：cot(a-b)=

　　【精典範例】

例1已知tan?= ，tan?=?2 求cot(???)，並求?+?的值，其中0?<?<90?, 90?<?<180? .

　　【解】

例2 求下列各式的值：

(1)

(2)tan17?+tan28?+tan17?tan28?

(3)tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°

【解】

點評：可在△ABC中證明

例3 已知 求證tan?=3tan(?+?).

　　【證】

例4已知tan?和 是方程 的兩個根，證明：p?q+1=0.

　　【證】

例5已知tan?= ，tan(??)= (tan?tan?+m),又?,?都是鈍角，求?+?的值.

　　【解】

思維點拔：

兩角和與差的正弦及餘弦公式, 解題時要多觀察，勤思考，善於聯想，由例及類歸納解題方法，如適當進行角的變換，靈活應用基本公式，特殊角函數的應用等是三角恆等到變換中常用的方法和技能.

　　【追蹤訓練一】

1.若tanAtanB=tanA+tanB+1，則cos(A+B)的值為( )

2.在△ABC中，若0

△ABC一定是( )

A.等邊三角形 B.直角三角形

C.鋭角三角形 D.鈍角三角形

3.在△ABC中，tanA+tanB+tanC=3 ，tan2B=tanAtanC，則∠B等於 .

4. = .

5.已知 .

6.已知

(1)求 ;

(2)求 的值(其中 ).

　　【選修延伸】

例6已知A、B為鋭角，證明 的充要條件是(1+tanA)(1+tanB)=2.

　　【證】

思維點拔：

可類似地證明以下命題：

(1)若α+β= ，

則(1-tanα)(1-tanβ)=2;

(2)若α+β= ，

則(1+tanα)(1+tanβ)=2;

(3)若α+β= ，

則(1-tanα)(1-tanβ)=2.

　　【追蹤訓練二】

67°30′-tan22°30′等於( )

A.1 B. C.2 D.4

17°tan43°+tan17°tan30°+tan30°tan43°的值為( B )

A.-1 B.1 C. D.-

3.(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)… (1+tan44°)(1+tan45°)= .

4. =

5.已知3sinβ=sin(2α+β)且tanα=1，則tan(α+β)=

6.已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的兩根分別為tanα，tanβ且α，β∈

(- )，求sin2(α+β)+sin(α+β)cos(α+β)+2cos2(α+β)的值.

7.已知函數 的圖象與 軸交點為 ，

　　求證：

學生質疑

教師釋疑