四色定理證明題目
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為了打擊我根深蒂固的愚昧和狂妄,特懸賞:第一個發現證明0或證明2本質錯誤的人,可獲得小米手機一台,略表謝意。證明1中,有一個錯誤,但可以彌補,不會影響結論。(我用的是WPS軟件,所以選擇小米。)
Hello, world!
I am becoming a machine.
本文所説的圖都是指平面圖。
方法0:
方法1:
數學歸納法:
最小4色圖是K4,含4個區域,4個點。
設圖含N(大於3)個點時,4色可染。若圖3色不可染,圖必然含至少2個區域,沒有一個固定區域必須4色染。(即允許有4色染的區域存在,但在圖上是可以流動的。類似於給圖4色染的時候,因為沒有精心的配置,會出現某個區域4色染的情況。)
增加1個點A,它必然第4色可染,圖4色可染。
若圖只有1個區域,則2色可染。所以,若圖3色不可染,圖必然含至少2個區域。
此時,含N+1個點的圖若存在一個固定區域必須4色染,則必然是A所在(或不在)的區域。
如果A所在的區域包含了所有點,則要麼圖3色可染,要麼A是N個點的環的'中心點,無4色染的區域。
如果A所在的區域沒有包含所有點,因為我們可以任意指定誰是A,所以沒有一個固定區域必須4色染。
【另一種表述:因為必須4色染的圖必然含K3子圖,所以必然有1個3色染的區域。令3色染的區域含A(或者不含A)。而A卻是可以任意流動的,所以沒有一個固定區域必須4色染。】
根據歸納法可知,平面圖4色可染。
證畢。
方法2:
證明:
數學歸納法:
先觀察一下4色圖有什麼特徵:
最小的4色圖是K4,可以看作是C3加上一個中心點。
5個點的圖4色可染,當它必須4色染時,必有2個點,分別處於一個環的內外。
6個點的圖4色可染,當它必須4色染時,要麼是C5加上一個中心點,要麼是必有2個點,分別處於一個環的內外。
根據觀察,我們大膽假設:當圖含N個點時,4色可染,當它必須4色染時,要麼含有子圖C(N-1)加上一個中心點,要麼有2個點,分別處於一個環的內外。
我們先證明當圖含N+1個點時,圖4色可染:
去除N+1個點中任意一點A, 新圖含N個點。
如果新圖3色可染,則A第4色可染。圖4色可染。
如果新圖必須4色染,根據假設可知,要麼新圖含有子圖C(N-1)加上一個中心點(此時,顯然A第4色可染),要麼有2個點(B和C),分別處於一個環的內外。
不失一般性,我們可以假設A 和B處在同一個區域。
考察區域B所在點的染色情況:
若3色可染,則必有A第4色可染。
若必須4色染,根據假設可知,區域B要麼有子圖C(N-X)加上一個中心點,
(X是某個自然數。此時,顯然A第4色可染),要麼含有兩個點E,F分別處於某個環的內外。
不失一般性,我們可以假設A 和E處在同一個區域......
因為圖是有限圖,所以A必然是第4色可染的。
所以N+1個點的圖4色可染。
命題得證。
待續,貼不下......為尊重“聘才職業圈”這個平台上眾多給予幫助的專家,引用此文時,請註明“來自聘才職業圈”
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本文所説的圖都是指平面圖。
方法0:
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