機械能中的幾個常見問題

一、有關變力功的計算：

1. 轉化模型求變力的功

例一：人在A點拉着繩通過一定滑輪吊起質量m=50kg的物體，如圖所示，開始繩與水平方向夾角為60°，當人勻速提起重物由A點沿水平方向運動S＝2m，而到達B點，此時繩與水平方向成30°角，求人對繩的拉力做了多少功？

分析與解：人對繩的拉力大小雖然始終等於物體的重力，但方向卻時刻在變，而已知的位移S又是人沿水平方向走的距離，所以無法利用W＝FScosθ 直接求拉力的功，若轉換研究對象，以物體G為對象，其動能的增量即人對物體做的功。這種轉換研究對象的是求變力的一條有效途徑。

設滑輪距地面的高度為H，

則：

人由A走到B的過程中，重物G上升的高度ΔH等於滑輪右側繩子增加的長度，即：

人對繩做的功：W＝FS＝GΔH 代入數據得：W=732 J。

例二：把長為L的鐵釘釘入木板中，每打擊一次給予的能量為E0，已知釘子在木板中遇到的阻力與釘子進入木板的深度成正比,比例係數為K，問：把此釘子全部打入木板中，需要打擊多少次？

分析與解：在釘子進入木板的過程中，釘子把獲得的能量用來克服阻力做功，而阻力為變力，因此要求出這個力的功，可採用平均值來求。又因為釘子所受的阻力與釘子進入木板的深度成正比，即：F＝Kx，

所以，其平均值 ，F1=0，F2=KL，

克服阻力所做的功：

由能量守恆： ， 所以：

方法二：本題中因所受的阻力與釘子進入木板的深度成正比，類似於彈簧的彈力（F=kx），因此，克服阻力所做的功，可轉化為彈簧模型，即阻力所做的`功，可等效認為轉化為彈簧的彈性勢能。

，即可得出同樣的結論：。

2. 巧用結論求變力的功

結論的引入及證明：

例三：物體靜止在光滑的水平面上，先對物體施加一個水平向右的恆力F1，立即再對它施加一個水平向左的恆力F2，又經t秒後，物體回到出發點，在這一過程中，F1、F2分別對W1、W2間的關係是

A. W1= W2 B. W2= 2W1 C. W2= 3W1 D. W2= 5W1

分析與解：如圖所示，AB段物體受的作用力為F1，BCD段物體受作用力F2，設向右為正方向，AB=S，

則AB段物體的加速度：

B點的速度：

BCD段物體的加速度：

綜合以上各式有：

A到B過程中F1做正功，BCD過程中因位移為0，F2的總功為0，B到D過程F2做正功，即，

∴ ，故正確選項為C。

練習1：在光滑水平面上有一靜止的物體，現以水平恆力推這一物體，作用一段時間後，換成相反方向的恆力推這一物體，當恆力乙與恆力甲作用時間相同時，物體恰回到原處，此時物體的動能為32J，則在整個過程中，恆力甲做的功等於_____________，恆力乙做的功等於_______________。

利用上述結論有：

又因為：

∴ Ｊ，Ｊ

二、功能關係的應用

1. 功能關係的簡單應用

例四：將一個小球豎直向上拋，初動能為100J，上升到某一高度時動能減少80J，機械能損失20J，設阻力大小不變，那麼小球回到拋出點時的動能為：

A. 20J B. 40J C. 50J D. 80J

分析與解：物體機械能的損失是因為克服阻力做功，即當機械能減少20J時，克服阻力所做的功為20J，動能的減少是因為合外力做功，當動能減少80J時，克服重力做功為80－20=60J。因此過程中位移相同，所以： ，物體上升到最高處時，動能為0，則克服重力和阻力分別做功75J和25J，同理在下落過程中克服阻力做功為25J。在整個過程中重力做功為0，克服阻力做功為25+25=50J，則回到原出發點時，物體的動能為100J－50J＝50J。

正確答案為：C

練習2：一物體以150J的初動能從傾角為θ 的斜面底端沿斜面向上做勻減速運動，當它的動能減少100J時，機械能損失了30J，物體繼續上升到最高位置時，它的重力勢能增加__________J，然後物體從最高位置返回原出發點時與放在斜面底端垂直斜面的擋板發生碰撞（碰撞過程中無機械能損失）後，物體又沿斜面向上運動，物體第二次上升時重力勢能增加的最大值是____________J。

答案：105J，15J。

2. 功能關係的綜合問題。

例五：如圖所示，水平傳送帶AB長L=8.3m，質量為M=1kg的木塊隨傳送帶一起以V1=2m/s勻速運動（傳送帶的傳送速度恆定），木塊與傳送帶的動摩擦因數m =0 高中歷史.5，當木塊運動至最左端A點時，一顆質量為m=20g的子彈以V0=300 m/s水平向右的速度正對射入木塊並穿出，穿出速度V=50 m/s，以後每隔1s就有一顆子彈射向木塊，設子彈射穿木塊的時間極短，且每次射入點各不相同，取g =10 m/s2，求：

（1）在被第二顆子彈擊中前，木塊向右運動離A點的最大距離？

（2）木塊在傳送帶上最多能被多少顆子彈擊中？

（3）從第一顆子彈射中木塊到木塊最終離開傳送帶的過程中，子彈、木塊和傳送帶這一系統所產生的熱能是多少？

分析與解：

（1）第一顆子彈射入木塊過程中系統動量守恆，以向右的方向為正方向，有：

， 解得：

木塊受向左的摩擦力，以V1′向右作勻減速運動其加速度：

則木塊速度減小到0所用時間為：

解得：t1=0.6s＜1s

所以，木塊在被第二顆子彈擊中前向右運動離A點最遠時，速度為0，移動距離為

解得S1=0.9m

（2）在第二顆子彈射中木塊前，木塊再向左作加速運動，

時間：t2=1s－0.6s=0.4s

速度增大為：

向左移動的位移為：

所以兩顆子彈射中木塊的時間間隔內，木塊總位移，方向向右。

第16顆子彈擊中前，木塊向右移動的位移為

第16顆子彈擊中後，木塊將會再向右先移動0.9m，總位移為0.9m+7.5m=8.4m＞8.3m

木塊將從B端落下。木塊在傳送帶上最多能被16顆子彈擊中。

（3）第一顆子彈擊穿木塊過程中產生的熱量為：

J

木塊向右減速運動過程中相對傳送帶的位移為

產生的熱量

木塊向左加速運動過程中相對傳送帶的位移為

產生的熱量

第16顆子彈射入後木塊滑行時間為t3，有

解得t3=0.4s

木塊與傳送帶的相對位移為

產生的熱量

所以，全過程中產生的熱量

總之，在解答機械能一章有關功的計算及功能的轉化關係時，要特別注意力做了功，必有能量發生轉化，把握力的功與能量轉化之間的關係，正確列出相應的等式，求出待求的量。