在不續簽合同的情況下，公司要解僱一個員工，需承擔的責任

公司一員工任職4年左右了，曾簽過兩次勞動合同，現第二次合同也到期了，公司與員工雙方都沒有主動提出續簽勞動合同（公司並未明確説明不給續簽），這種情況是否屬於無固定期限合同？如果在這種情況下公司辭退這名員工，則公司需要承擔什麼樣的責任呢？如果是需要支付賠償金，勞動法規定的賠償金額是怎麼計算的呢？
PS（背景）：該員工任職期間有經常性的'曠工，工作基本上沒能按時完成能拖就拖的情況。但是目前公司沒有一項非常完善的規章制度約束着。