《全等三角形》八年級上冊教材分析

尊敬的承老師,各位同仁,大家上午好!首先感謝承老師給我鍛鍊的機會。下面我主要針對八上第一章《全等三角形》，和大家分享一下我的學習體會，不到之處，懇請批評指正。我從以下七個方面談談我的理解.

一、本章的地位和作用

全等三角形是國中幾何的重要內容之一，全等三角形的學習是幾何入門最關鍵的一步，全等三角形既是研究封閉圖形的開端,又是研究相似三角形、四邊形的基礎，這部分內容學習的好壞直接影響着今後的學習。

二、本章知識結構見PPt

三、課程學習目標

全等三角形的概念和性質、對應元素的識別，全等三角形的5種判定以及尺規作已知角的角平分線、過一點作已知直線的垂線等，

這8個目標中我們最容易落實的是知識目標，最難落實的是第8個目標，要教會學生研究圖形的方法：從識圖開始到概念到性質到判定，再到應用，讓學生建立研究圖形的經驗，體會合情推理和演繹推理這兩種方式, 感悟圖形運動變化的思想和説理方法的多樣性。將研究圖形的方法和表述這兩個目標落實到位，學生在學習時便很輕鬆。

四、本章的重難點

本章重點：三角形全等的判定

本章難點：

1. 學生識圖能力的培養.

2.三角形全等的判定和應用，按照規定的格式正確地寫出推理過程.

在後面的教法建議中我會和大家分享我的想法。

五、課時安排建議及新舊教材對比

本章教學大約需要13課時，分配如下：見PPt,新教材將探索三角形全等的條件由原來的5課時增加到現在的8課時.

增加的3課時分別為:

1.增加了SAS的鞏固複習（需要經過一些推導得到SAS的條件）

2.舊教材ASA，AAS共1課時,新教材將ASA，AAS各立1節

3.增加了 ASA，AAS的綜合應用

後面的教法建議中將和大家一起探討這8個課時編排的意圖。

4. 在SAS判定定理之後增加了閲讀材料——圖形的運動與“SAS”，用圖形運動的方法來確認SAS的正確性.

這是4個增加的內容，另外新教材還將例題、閲讀材料的位置、數學活動的內容作了一些變化，另外作圖要求也比原來要高。

六、學法指導與教法建議

從學習全等三角形的過程來看，跟學習平行線的過程基本一樣，都遵循了這樣一個過程：

今後學習其他幾何圖形，基本都遵照這一順序.

教法建議：

1.藉助媒體，讓變換更直觀

尋找對應元素時，用變換、運動的'觀點識別圖形，藉助於多媒體讓圖形動起來，變抽象為直觀，從中體會圖形變換的思想，逐步培養學生動態研究幾何的意識.

2.重視活動，讓感悟更深刻

第一章9-10頁操作活動，讓學生剪一個三角形，在在白紙上描下來。把這個三角形與描出來的三角形疊合以後再平移開來，翻折過去，再旋轉，這個操作活動讓學生體會兩個重合的三角形怎樣通過平移、翻折、旋轉改變成不同的位置分開來。

第10頁討論這個活動與剛才的操作互逆，這個是把兩個全等的三角形如何重合起來?怎樣改變兩個三角形的位置，使它們重合。前面是合在一起，把它們拉開來；這裏是分開來要把它們合起來，這兩個活動都是為了感悟圖形的運動變化——平移、翻折、旋轉。

接下來11頁上專門寫了個閲讀關於圖形的運動：平移、翻折、旋轉這三種基本變換。上面三個材料：操作、討論和閲讀體現了圖形變換的思想，適當加強了圖形運動的方法來研究圖形的性質。這一系列活動的意圖在於幫助學生以後能從較複雜圖形中“找出”2個全等圖形，從而為“證明”提供了方向。

像後面閲讀材料中幾個圖形就複雜了，通過前面的研究和鋪墊，他就能順利看出這兩個圖形是通過平移、旋轉還是翻折以後重合的？這樣他的演繹推理就有一個正確的方向。

這是全等的第一塊內容，通過操作、討論閲讀感悟兩個圖形怎樣可以重合。

這一章的第二塊內容，就是關於全等的第一個判定定理“SAS”，課標是作為基本事實，教材是如何處理“SAS”這個基本事實的呢？通過了一系列的安排。第一：13頁上的剪紙，怎樣在一個長方形的紙上剪下一個直角三角形，使得剪下的所有直角三角形都能重合?

這是一個剪紙活動，這裏讓學生感悟：因為在長方形紙上剪一個直角三角形，有一個角相等是直角了，所有直角邊一樣長就可以重合，就能感悟“SAS”的關係了。

接下來是交流：在圖1-6中，這些直角三角形能完全重合嗎？觀察角等了，邊有什麼關係，哪兩個三角形可能重合？

第三個是作圖，根據兩邊和夾角的已知條件畫圖，畫三角形，每個人畫出來的三角形都能重合嗎？形狀、大小一樣嗎？三個層次：剪紙、觀察、作圖感悟SAS，課本把SAS作為基本事實，在教學中應該讓學生自己去實踐一下，如果僅僅是告訴學生“兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等”，這一句話就可以把這些事情全部抹掉，那麼這個基本事實就變成了一種硬性的沒有由來的規定。

這裏我們可以充分利用教材的設計組織探究和學習，當然如果你要創造性使用教材也是未嘗不可，只是這裏我覺得教材的處理還是恰到好處的。

這種設計是為了讓學生認識到數學中的一個基本事實（或者是公理），它必須是有由來的，有實踐依據的。進而課本在“讀一讀”裏面又寫了一個“圖形的運動與SAS”。

這個閲讀用圖形運動的方法證實了“SAS”定理。它可以不是一個公理。 ，邊等了就可以重合了，∠ ∠ ，BA這條線就落在 上了， ，所以A點一點落在 上，所以△ABC移過去與△ 完全重合，那就説明兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等的。所以SAS實際上可以不作為一個公理，按照課標它是基本事實，課本中用圖形運動的方法來確認SAS這個結論。教材對SAS這個判定方法的處理是通過剪紙、觀察、作圖感悟類似於合情推理的方式認可了“兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等”，得到基本事實，再用理性的方法感悟了SAS真的可以判定全等，這個閲讀可以帶着學有餘力的學生好好看一下，儘管不作為統一要求。

最後一個數學活動課本33頁，關於三角形全等的條件，建議老師們認真組織學生開展活動，特別是對數學感興趣，學得好的學生。將這個數學活動弄清楚，回頭再去看前面的那些判定太簡單了，對課本知識的理解就駕輕就熟了。這個數學活動中，後面提出的一個問題，在兩個三角形中，如果有4對元素分別相等，那麼這兩個三角形一定全等嗎？這個問題是有迷惑性的，如果這些問題弄清楚了，那麼關於三角形全等的條件的問題就簡單了。

3.循序漸進，讓學習更輕鬆

有了這個判定之後我們又講了ASA、AAS、SSS這些判定。在這章中要非常仔細，現在的幾何教學不僅是演繹、推理、論證，還有幾何直觀、空間想象、合情推理能力。如果看重演繹推理能力，那麼在這8節教學中要非常仔細的處理好，這一段是學生學習演繹推理、論證能否順利過關的非常重要的一個階段。這8個課時應該採用“小步子、多層次”慢慢地往前走，不要急於求成、不要急於搞形式化的訓練，先把演繹推理論證的邏輯關係弄清楚，進而把最簡單的書寫規範化，然後再慢慢往前走。儘管我們很多老師已經在七年級時對説理和證明進行了一定的格式化統一和訓練，但此處編者的意圖還是明顯的，循序漸進，由淺入深，小步子切入，多渠道、多層次反覆，有利於學生在發展知識、技能的同時，獲得情感態度等非智力因素的發展，並關注了學習過程的強化，和思維發展的滲透，有利於學生在演繹推理方面能力的發展。

下面一起看一下這8節中的8個例題。

例1判定兩個三角形全等是有2個條件直接可用的：一邊一角，由圖形可以直接得到公共邊，這是最低層次的訓練，3個條件，2個已經給你了，一個是看圖直接得到的。

例2有了一點變化了，兩個直接可用條件，1個隱含條件，所隱含的是對頂角，涉及到前面學習的“對頂角相等”的性質。

例3兩個直接可用條件，1個需要轉化的條件，怎麼轉化，由“平行”到角，然後才可以利用，比對頂角複雜了，例3的圖形與例1、例2比起來，直觀性遠不如例1、例2，這裏層次體現出來了。

再看例4，3個條件都要轉化了，中點的條件要轉化，平行的條件要轉化，難度上去了，從例3到例4在教學中還可以再鋪1-2個台階，這樣慢慢讓學生拾級而上，這裏ASA同樣可以用圖形運動的方法去證實。

一邊等了，兩個角∠ ∠ ，∠ ∠ ，角的另外兩邊就重合了，根據兩邊相交只有一個交點，BA、CA相交的點A與 、 交點 就是同一點。ASA也就證實了。當然我們不需要讓學生學會這個證明。

這裏我將例5、例6倒了一下，例6有一個直接可用條件，2個條件需要轉化，它的難度在哪裏？要證明的結論延伸了。它不再是三角形全等了，這裏要證明的是邊等。有了明確的目標，分析才能有目標——要證兩邊等就是證明所在的三角形全等。

例5需要綜合運用三角形的性質和判定，給出的條件時三角形全等，然後要證明對應的高相等，這都需要進行分析。

例7實際上是證明了等腰三角形的兩個底角相等，現在的教材等腰三角形的有關性質是在全等三角形HL定理之後，因而需要做一個鋪墊。在證明HL定理時可以藉助這個結論，這是教材編排體系上的變化帶來的一個問題，例7是為了證明HL作準備的。

這是全等三角形裏面的8個課時的具體編排。

再看HL，修訂後的教材對HL做了精心的考慮，看三個卡通人物，上面兩個卡通人物體現了分類的思想。

兩個直角三角形，有一對內角（直角）相等，判定兩個三角形全等，還需要幾個條件？可以是哪些條件？你能把所有的情況都羅列出來嗎？

直角三角形是特殊的三角形，判定兩個直角三角形全等，有沒有特殊的方法？就引出了斜邊直角邊。

當有一對內角相等時，第一個卡通人是兩條直角邊，第2個卡通人是有一條邊等，1邊等再加1角等，除了這些之外，還有什麼可能呢？

兩條邊相等，除了兩條邊是直角邊之外，還可以一條是直角邊，一條是斜邊，所以就產生了第三個卡通人的疑問。在教學時應引導學生感悟“分類”的思想方法，以及“特殊與一般”的關係。這種關係在教學時不要太像知識一樣告訴學生，應讓學生自己學會探索應該怎麼去考慮，到底有多少可能的情形。這樣處理才能體現課標説的把基本思想融合在知識的教學中。

例8一定要學會分析，因為證明的結論不是全等，而且證明過程要兩次全等，這個例題達到了課程標準規定的最高難度。從例1-例8，一定要小步子，多層次，讓每個學生都能夠跨好每一步。如果這一段能順利的過去，那麼從總體上講幾何往下學演繹推理的問題就少了。

4.滲透方法，讓思想更靈活

本章的難點主要就是證明問題，包括推理的過程和符號語言的規範使用.如何理性的思維和規範的表達，課本採用的是分析法和綜合法，用箭頭表示向上怎麼想，向下怎麼想。

分析時我們有兩種方法：（1）從條件到結論，抓住條件，給你什麼樣的條件，你又什麼樣的想法（2）抓住結論，要得到這個結論需要什麼樣的條件。學生學會這兩種方法，一切問題都能解決。

學生有了證明兩個三角形全等的思路，結合題目的條件和結論，就能夠選擇恰當的判定方法解決問題.

例如：在解決這道題時：

已知：如圖，D是AB上一點，DF交AC於點E，DE=FE，FC∥AB.

問AE與CE有什麼關係？證明你的結論.

分析：直觀看，AE=CE，因此要證它們所在的三角形全等.即要證△ADE和△CFE全等.

已知一邊相等,而且這兩個三角形有一組對頂角相等，已知一邊一角，我們可以再找一邊用SAS或者再找一角用ASA或者AAS，但是發現這組邊相等就是我們要求證的，所以我們只能找一角相等，而題目給出的是平行條件，因此找角容易，進一步分析得到用AAS或ASA都可證.

推理的分析很重要，剛開始要給學生多做例子，並嚴格要求學生規範書寫.

在學習過程中對於學習有困難的學生，一定要及時進行補償教學，降低對他們的難度、放慢節奏、鼓勵其分析、幫其建立思考和敢於面對的信心，此處在承認學生差異的同時，將分層落實到實處。同時，也可藉助生生互動來幫忙或通過多媒體等輔助手段，如由常州市教育局主持的，由潘建明名師工作室負責開發的青果在線微視頻學習便是一個很好的途徑。本章的大部分知識點網頁上都做了具體的分析，學生可以看某個內容完整的視頻，也可以看這個知識點中自己不理解的部分，比如：定理的探索沒明白或者不會分析問題，可以點開分視頻進行學習。當然，這些微視頻如果讓學生在預習時自主選擇使用，效果也是較好的。

七、會考鏈接

全等三角形在會考中的地位很高，分值也很大，除了在證明題中單獨考一道，在後面的複雜題中，也會在某些線段或角的數量關係上利用全等來得，下面是近三年會考出現的有關全等的問題供老師們參考.

（2013．常州）第22題，該題只需由中點的條件得到邊相等的條件，然後採用SSS證明。難度不大。

(2012.常州)第22,23題均考察了三角形全等，共12分

第 22題 綜合考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性質，分析要證：∠DBC與∠DCB相等可以去證BD與CD相等，而BD與CD相等，可以利用全等。

第23題要證明的結論是邊等,該題利用全等三角形的對應邊相等,菱形的四條邊都相等或者垂直平分線的性質定理都能解決該問題，學生即使不學後面的知識用兩次全等也能解決該問題。

再如2011．常州第22題，這裏不再一一累述 。

這塊內容的地位之重，大家都瞭然於心，在教學中如何規範邏輯思維的表達，下面諸老師會給大家詳細解讀。

我的發言完了，不到之處，懇請指正！謝謝！

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