數學公式立方和公式證明

立方和公式證明

我們知道：

0次方和的求和公式ΣN^0=N+1

1次方和的.求和公式ΣN^1=N(N+1)/2

2次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1)(2N+1)/6

取公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1

係數可由楊輝三角形來確定

那末就有：

(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)

N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)

(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)

...................

2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)

於是(1)+(2)+(3)+........+(n)有

左邊=(N+1)^4-1

右邊=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N

所以呢

把以上這已經證得的三個公式帶入

4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1

得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

移項後得1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4(N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)

等號右側合併同類項後得1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4(N^4+2N^3+N^2)

即

1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4[N(N+1)]^2

大功告成!

立方和公式推導完畢

1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4[N(N+1)]^2