等腰三角形的判定

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第十二講 等腰三角形的判定

由於等腰三角形有豐富的性質，這 些性質為我們解幾何題提供了新的理論依據，所以尋找發現等腰三角形是解一些幾何題的關鍵，判定一個三角形為等腰三角形的基本方法是：從定義入手，證明一個三角形的兩條邊相等;從角入手，證明一個三角形的兩個角相等， 實際解題中 的一個常用技巧是，構造等腰三角形，進而利用等腰三角形的性質為解題服務，常用的構造方法有：

1.“角平分線+平行線”構造等腰三角形;

2.“角平分線+垂線”構造等腰三角形;

3.用“垂直平分線”構造等腰三角形;

4.用“三角形中角的2倍關係”構造等腰三角形.

例題求解

【例1】 如圖，一個六邊形的6個內角都是120°，其連續四邊的長依次是1、9、9、5，那麼這個六邊形的周長是 cm.

(“祖沖之杯”邀請賽試題)

思路點撥 設法將六邊形的問題轉化為三角形或四邊形的問題加以解決，六邊形的外角都為60°，利用60°構造等邊三角形是解本例的關鍵.

注 證明線段相等是最基本的幾何問題，目前常用證法有：

(1)若兩線段屬於兩個三角形，則考慮證對應的三角形全等;

(2)若兩線段是同一個三角形兩邊，則考慮用等角對等邊證明;

(3)尋找中間線段，通過等 量代換證明.

類似的，我們可以對證明角相等、等邊三角形的判定作歸納總結.

不同形狀的幾何圖形之間可互相轉化，向外補形與對內分割是基本的兩種轉化方式.

【例2】 如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的P點有( )

A.2個 B.4個 C.6個 D.8個

(江蘇省競賽題)

思路點撥 AB既可作等腰三角形PAB的腰，也可作為等腰三角形PAB的底，故要思考全面，才能正確地得出符合條件的P點的個數.

【例3】 如圖，△ABC中，AD⊥BC於D，∠B=2∠C，求證：AB十BD=CD.

(天津市競賽題)

思路點撥 如何利用條件∠B=2∠C?又怎樣得到AB+BD?不同的思考方向，會找到解題的不同方法.

【例4】 如圖甲，點C為線段AB上一點，△ACM、△CBN是等邊三角形，直線AN、MC交於點E，直線BM、CN交於點F.

(1)求證：AN=BM;

(2)求證：△CEF是等邊三角形;

(3)將△ACM繞點C按逆時針方向旋轉90°，其他條件不變，在圖乙中補出符合要求的圖形，並判斷第(1)、(2)兩小屬結論是否仍然 成立(不要求證明).

(荊門市會考題)

思路點撥 圖甲中有多對全等三角形，這是解(1)、(2)問的基礎.

注 若僅將題中的條件∠A=30°改為∠A=45°，則符合條件的點有幾個?若將題中的條件∠A=30°，改為∠A≠30°，∠A≠45°，則符合條件的P點有幾個?請讀者思考.

分折法(執果溯因)，綜合法(由因導果)是兩種最基本的分析方法.

處理題設條件中的“兩倍角”的基本途徑是：

(1) 向外構造等腰三角形; (2)對內作角平分線.

【例5】 如圖，在五邊形ABCDE中，∠B=∠E，∠C=∠D，BC=DE，M為CD中點，求證：AM⊥CD. (武漢市選拔賽試題)

思路點撥 證明∠AMC=90°或應用等腰三角形“三線合一”的性質，通過作輔助線將五邊形問題恰當地轉化為三角形問題是解本例的關鍵.

學歷訓練

1.如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線相交於O 點.作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC，BC=a，AC=b，AB=c，則△GMO周長+△ENO的周長-△FHO的周長 .

2.如圖，△ABC中，AB=AC，∠B=36°，D、E是BC上兩點，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，則圖中等腰三角形共有 個.

3.如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，則∠D：∠C的值= .

(“五羊杯”競賽題)

4.如圖，四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交於E點，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四個結論：

①AC⊥BD;②BC=DE;③∠DBC= ∠DAB;④△ABE是等邊三角形.請寫出正確結論的序號 .(把你認為正確結論的序號都填上) (2002午天津市會考題)

5.如圖， 在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分別是AB、AC的中垂線，E、M在BC上，則∠EAM等於( )

A.58° B.3 2° C.36° D.34°

6.如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，則AC與2AB之間的關係是( )

>2AB =2AB ≤2AB <2AB

(山東省競賽題)

7.等腰三角形一腰上的高等於該三角形某一條邊的長度的一半，則其頂角等於( )

A.30° B.30°或150°C. 120°或150° D.30°或120°或150°

(“希望杯”邀請賽試題)

8.在鋭角△ABC中，三個內角的度數都是質數，則這樣的三角形( )

A.只有一個且為等腰三角形

B.至少有兩個且都為等腰三角形

C.只有一個但不是等腰三角形

D.至少有兩個，其中有非等腰三角形

9.如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O為BC的'中點.

(1)寫出點O到△ABC的三個頂點A、B、C的距離的關係.

(2)如果點M、N分別在線段AB、AC上 移動，在移動中保持AN=BM，請判斷△OMN的形狀，並證明你的結論. (廣東省會考題)

10.如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC於F，求證：AF=EF.

11.如圖，已知等邊三角形ABC，在AB 上取點D，在AC上取點E，使得AD=AE，作等邊三角形PCD，QAE和RAB，求證：P、Q、R是等邊三角形的三個頂點.

12.在△ABC中，AB=AC，高線AD= BC，AE為∠BAC的平分線，則∠CAD的度數為 . (北京市競賽題)

13.如圖，△ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，則∠A= .

14.如圖，四邊形ABCD中，AE、AF分別是BC，CD的中垂線，∠EAF=80°，∠CBD=30°，則∠ABC= ，∠ADC= . (天津市競賽題)

15.有一個等腰三角形紙片，若能從一個底角的頂點出發，將其剪成兩個等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的頂角為 度. (江蘇省競賽題)

16.在等邊△ABC所在的平面內求一點P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有這樣性質的點P有( )

A.1個 B.4個 C.7個 D.10個

17.如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC= DC= DE，則∠D=( )

A.30° B.450° C. 60° D.67.5°

18.如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC內一點，則( )

+PB+PCAB+AC

+PB+PC=AB+AC +PB+PC與AB+AC的大小關係不確定，與P點位置有關

19.如圖，在△ABC內，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分別在BC、CA上，並且AP、BQ分別為∠BAC、∠AB C的角平分線.求證：BQ+AQ=AB+BP.

(2002年全國國中數學競賽矗)

20，如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC>60°，∠ABD=60°，且∠ADB=90°一 ∠BDC，求證：AC=BD+DC. (天津市競賽題)

21.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是△ABC內一點，且∠DAC=∠DCA=15°，求證：BD=BA.

22.在平面內確定四點，連接每兩點， 使任意三點構成等腰三角形(包括等邊三角形)，且每兩點之間函線段長只有兩個數值，則這四點的取法有多少種?畫圖説明.

(濰坊市會考題)

23.(1)如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABD=60°，∠BCD=120°，證明：BC+DC=AC.

(2) 如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P為四邊形ABCD內一點，且∠APD=120°，證明：PA+PD+PC≥BD. (江蘇省競賽題)

24.如圖，等邊三角形ABD和等邊三角形CBDD的長均為a，現把它們拼合起來，E是AD上異於A、D兩點的一動點，F是CD上一動點，滿足AE+CF=a.

(1)E、F移動時，△BEF的形狀如何?

(2)求△BEF面積的最小值.