《分割等腰三角形》的課堂教學實錄和評析
一、教學實錄
1.巧設問題,力透基礎
問題1:用一條直線將一個三角形分成兩個三角形,怎樣分?
生1:過三角形的頂點作直線。
問題2:用一條直線將一個三角形分成兩個等腰三角形,怎樣分?
生2:這題是不是條件不足?
師:你來加個條件吧!
生2:(思考了一會兒)三角形的各內角是36°、72°、72°。
問題3:用一條直線將內角分別為36°、72°、72°的三角形分成兩個等腰三角形。
生3:作72°角的角平分線。
問題4:用一條直線將內角分別為25°、50°、105°的三角形分成兩個等腰三角形。
生4:將105°角分成25°和80°,分成兩三角形的內角分別是25°、25°、130°和50°、50°、80°
問題5:順利正確解決剛才兩個問題的同學請舉手,採訪你一下:你怎麼這麼厲害,就分成功了?
生5:我覺得最小的角是不能分的;根據所給內角的度數,先分出一個等腰三角形,再去證明另一個也是等腰三角形。
問題6:你太棒了!請同學們設計一個三角形,使之能被分成兩個等腰三角形。
生6:108°、36°、36°。
生7:10°、20°、150°。
生8:45°、45°、90°。
生9:任意的直角三角形。
師:(看着始終躍躍欲試的學生們)因時間關係,同學們不妨將自己的設計寫下來,並請思考:任何三角形都能被分成兩個等腰三角形嗎?
生齊答:不是!
師:證明一個假命題的方法是什麼?
生:舉反例!
師:請證明“任何三角形能被分成兩個等腰三角形”是一個假命題。
生10:等邊三角形。
生11:一個三角形的內角為105°、5°、75°。
師:反例也可以舉出無數種,到底怎樣的三角形能被分成兩個等腰三角形呢?
問題7:探究一個三角形能被分割成兩個等腰三角形的條件。
評析:好的複習課,要兼顧全體學生;本節課前7個問題的設計,讓不同程度的學生都能有所得。既梳理了圖形分割的基本思路,又強化了對幾何問題的本質理解,能較好地促進學生對知識方法的`接受和內化,這種問題驅動式的複習方式,值得借鑑!
2.鼓勵猜想,小心驗證
在△ABC中,設∠A=α,∠B=β,∠C=γ,(α<β<γ)
過點B作直線l,交BC於點D如圖。可先令∠ABD=α(先定一個),則∠BDC=2α,接下來須讓△BCD也滿足為等腰三角形,開始分類討論。
生12:我覺得應該分三種情況,①當γ=2α時;②當β-α=2α時;③當β-α=γ時。
師:△ABC的特點呢?
生12:第一種情況的三角形中,一內角是另一內角的2倍;第二種情況可化為β=3α,即一內角是另一內角的3倍;第三種情況可化為β=α+γ=90°,即△ABC是直角三角形。
師:(將學生的回答板書出來)你真厲害!歸納得井井有條。讓我們根據這一規律對剛才同學們所舉的三角形作一下判斷,順便也做個驗證。請同學試試,並簡略説明怎麼分割。
生13:第一個三角形符合第二種情況,把108°分成36°和72°,就得到兩個等腰三角形。
師:你分析得完全正確;在一個內角是另一個內角三倍的情況下,只要把三倍角分成1∶2兩部分即可。
生14:第二個三角形符合第一種情況,把150°的角分成10°和140°。
師:又解決了一個問題;據同學們的方法,當一個角是另一個角的兩倍時,將第三個角分出較小的一個內角的角度。打鐵趁熱,想請同學們分割一下如下三角形:30°、50°、100°。
生15:這是第一種情況,可是我分不出來。
師:有沒有同學分割成功了?
學生都搖頭,並表示不解。
生16:我知道了,我們不能分割最小角,如果一個角是另一個內角的2倍,等待被分割的第三個角不能是最小角,所以情況一還有限制條件。我覺得應該180°-3α>α,α<45°。
師:你的發現實在是太精彩了!第一種情況屬於假命題,我們通過添加條件使其成為真命題,三角形中一個內角是另一個內角(小於45°)的2倍,則此三角形能被分割成兩個等腰三角形。
生17:第三個和第四個三角形都屬於直角三角形,只要將直角分成其餘兩個鋭角的度數即可。
師:説得真好!讓我們來觀察一下被分割後的直角三角形ABC,AD=BD,CD=BD,這一結論可用直角三角形的一個性質來描述,同學們試試?
生18:直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。
師:我們無意間找到了證明這一性質的方法。
評析:數學離不開對數形規律的探究,好的方法能幫助我們快速釐清思路、辨明方向。這一階段的設計,層次分明、內涵豐富,讓學生較輕鬆地完成了規律的探求。通過有效追問,極大地豐富了學生的思維空間;而分類思想的滲透,則有助於培養學生思維的縝密性與良好品質。
3.緊扣規律,應用提高
問題8:把一個等腰三角形分成兩個等腰三角形,求原等腰三角形的頂角。
學生分小組探討3分鐘後派代表發言。
生19:我們小組直接用剛才所得的結論來解題的。設等腰三角形的頂角為x°,底角為y°,得一個基本等式:x+2y=180°。如果是直角三角形,那麼就有x=90°;如果一個內角是另一個內角的2倍,則有x=2y或y=2x,分別得到x=90°,x=36°;如果一個內角是另一個內角的3倍,則有x=3y或y=3x,分別得到x=108°,x=(180/7)°;綜上所述:原等腰三角形的頂角可以是90°、36°、108°和(180/7)°。
全班鼓掌。回答的精彩程度不言而喻。
問題9:把一個正三角形分成四個等腰三角形。(用盡可能多的方法,課後完成)
評析:複習課的基本目的,一是內化知識,鞏固基礎;二是綜合運用,提升能力。從這個要求上看,本階段安排的兩個變式練習,有助於較好地達成教學目標。特別在基本圖形的提煉、解題思路的引領、基本規律的應用上,凸顯了教師對幾何教學本質的認識。
二、評析
本課主題明確,線索清晰,問題設置恰當;教師啟發有力,學生思維活躍,教學目標達成度較高,較好地實現了數學學習中“基礎、方法和能力”的有機統一。
1.精心設計問題,讓學生充分經歷有效的數學活動經驗
問題既是數學學習的心臟,又是思維活動的起點。通過問題來驅動教學,往往是實現夯實知識基礎,揭示本質特徵,提煉數學方法,提升思維水平等複習要求的有效途徑。本課設計的問題1到問題6,起點較低,學生參與度很高,在上課伊始,較好地活躍了課堂氣氛。當然,其主要目的是鋪墊,通過對問題的基礎解剖、特殊練習,使學生深刻理解問題本質,為提升能力做好必要的準備。低起點、高立意的數學活動,讓每一位學生覺得原本枯燥的數學,因其能輕巧參與其中而變得親切生動起來了,是高效課堂的必然保證!
2.立足方法引領,讓學生在解題中發展數學思維
本課問題切入點明確,學生常有精彩解答,而教師並不滿足於此,在學生回答後,不失時機地進行總結提煉,由點及面、歸納提升、反思延拓。讓學生在不知不覺中,從會解一道題到一類題;從知其然到知其所以然;從橫看成嶺到側看成峯到俯瞰成山脈。這就是複習課的立意所在!
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