圓錐曲線知識點總結分析

圓錐曲是數學考試中的一個難點，那麼相關的知識點又有什麼呢?下面圓錐曲線知識點總結是小編想跟大家分享的，歡迎大家瀏覽。

【考點透視】

一、考綱指要

1.會按條件建立目標函數研究變量的最值問題及變量的取值範圍問題，注意運用"數形結合"、"幾何法"求某些量的最值.

2.進一步鞏固用圓錐曲線的定義和性質解決有關應用問題的方法.

二、命題落點

1.考查地理位置等特殊背景下圓錐曲線方程的應用,修建公路費用問題轉化為距離最值問題數學模型求解，如例1;

2.考查直線、拋物線等基本知識,考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力，如例2;

3.考查雙曲線的概念與方程，考查考生分析問題和解決實際問題的能力，如例3.

【典例精析】

例1：(2004福建)如圖,B地在A地的正東方向4km處,C地在B地的北偏東300方向2km處,河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點到A的.距離比到B的距離遠2km.現要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭,向B、C兩地轉運貨物.經測算,從M到B、M到C修建公路的費用分別是a萬元/km、2a萬元/km,那麼修建這兩條公路的總費用最低是( )

A.(2-2)a萬元 B.5a萬元

C. (2+1)a萬元 D.(2+3)a萬元

解析:設總費用為y萬元,則y=aMB+2aMC

∵河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點到A的距離比到B的距離遠2km.,

∴曲線PG是雙曲線的一支,B為焦點,且a=1,c=2.

過M作雙曲線的焦點B對應的準線l的垂線,垂足為D(如圖).由雙曲線的第二定義,得=e,即MB=2MD.

∴y= a2MD+ 2aMC=2a(MD+MC)≥2aCE.(其中CE是點C到準線l的垂線段).

∵CE=GB+BH=(c-)+BCcos600=(2-)+2×=. ∴y≥5a(萬元).

答案:B.

例2：(2004北京,理17)如圖,過拋物線y2=2px(p>0)上一定點P(x0,y0)(y0>0),作兩條直線分別交拋物線於A(x1，y1),B(x2，y2).

(1)求該拋物線上縱座標為的點到其焦點F的距離;

(2)當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時,

求的值,並證明直線AB的斜率是非零常數.

解析:(1)當y=時,x=.

又拋物線y2=2px的準線方程為x=-,由拋物線定義得,

所求距離為.

(2)設直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB.

由y12=2px1,y02=2px0,相減得:,

故.同理可得,

由PA、PB傾斜角互補知 , 即,

所以, 故.

設直線AB的斜率為kAB, 由,,相減得, 所以.將代入得,

所以kAB是非零常數.

例3：(2004廣東)某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響,正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s.已知各觀測點到該中心的距離都是1020m,試確定該巨響發生的位置.(假定當時聲音傳播的速度為340m/s,相關各點均在同一平面上)

解析：如圖,以接報中心為原點O,正東、正北方向為x軸、y軸正向,建立直角座標系.設A、B、C分別是西、東、北觀測點,則A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020).

設P(x,y)為巨響發生點,由A、C同時聽到巨響聲,得|PA|=|PC|,

故P在AC的垂直平分線PO上,PO的方程為y=-x,因B點比A點晚4s聽到爆炸聲,故|PB|-|PA|=340×4=1360.

由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線上,

依題意得a=680,c=1020,∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402,

故雙曲線方程為.用y=-x代入上式,得x=±680,

∵|PB|>|PA|,∴x=-680,y=680, 即P(-680,680), 故PO=680.

答：巨響發生在接報中心的西偏北450距中心680 m處.

【常見誤區】

1.圓錐曲線實際應用問題多帶有一定的實際生活背景, 考生在數學建模及解模上均不同程度地存在着一定的困難, 回到定義去, 將實際問題與之相互聯繫,靈活轉化是解決此類難題的關鍵;

2.圓錐曲線的定點、定量、定值等問題是隱藏在曲線方程中的固定不變的性質, 考生往往只能浮於表面分析問題,而不能總結出其實質性的結論,致使問題研究徘徊不前,此類問題解決需注意可以從特殊到一般去逐步歸納,並設法推導論證.

【基礎演練】

1.(2005重慶) 若動點()在曲線上變化，則的最大值為( )A. B.

C. D.2

2.(2002全國)設,則二次曲線的離心率的取值範圍為( )A. B.C. D.

3.(2004精華教育三模)一個酒杯的軸截面是一條拋物線的一部分,它

的方程是x2=2y,y∈[0,10] 在杯內放入一個清潔球,要求清潔球能

擦淨酒杯的最底部(如圖),則清潔球的最大半徑為( )

A. B.1 C. D.2

4. (2004泰州三模)在橢圓上有一點P,F1、F2是橢圓的左右焦點,△F1PF2為直角三角形,則這樣的點P有 ( )

A.2個 B.4個 C.6個 D.8個

5.(2004湖南) 設F是橢圓的右焦點,且橢圓上至少有21個不同的點Pi(i=1,2,3,...),使|FP1|,|FP2|, |FP3|,...組成公差為d的等差數列,則d的取值範圍為 .

6.(2004上海) 教材中"座標平面上的直線"與"圓錐曲線"兩章內容體現出解析幾何的本質是 .

7.(2004浙江)已知雙曲線的中心在原點,

右頂點為A(1,0),點P、Q在雙曲線的右支上,

點M(m,0)到直線AP的距離為1,

(1)若直線AP的斜率為k,且|k|?[],

求實數m的取值範圍;

(2)當m=+1時,△APQ的內心恰好是點M,

求此雙曲線的方程.

8. (2004上海) 如圖, 直線y=x與拋物

線y=x2-4交於A、B兩點, 線段AB的垂直平

分線與直線y=-5交於Q點.

(1)求點Q的座標;

(2)當P為拋物線上位於線段AB下方

(含A、B) 的動點時, 求ΔOPQ面積的最大值.

9.(2004北京春) 2003年10月15日9時,"神舟"五號載人飛船發射升空,於9時9分50秒準確進入預定軌道,開始巡天飛行.該軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓.選取座標系如圖所示,橢圓中心在原點.近地點A距地面200km,遠地點B距地面350km.已知地球半徑R=6371km.

(1)求飛船飛行的橢圓軌道的方程;

(2)飛船繞地球飛行了十四圈後,於16日5時59分返回艙與推進艙分離,結束巡天飛行,飛船共巡天飛行了約,問飛船巡

天飛行的平均速度是多少km/s?(結果精確

到1km/s)(注:km/s即千米/秒)