張齊華的《交換律》教學實錄
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交換律是被普遍使用的一個數學名詞,意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。 下面是小編為你帶來的張齊華的《交換律》教學實錄 ,歡迎閲讀。
師:喜歡聽故事嗎?
生:喜歡。
師:那就給大家講一個“朝三暮四”的故事吧。(故事略)聽完故事,想説些什麼嗎?
結合學生髮言,教師板書:3+4=4+3。
師:觀察這一等式,你有什麼發現?
生1:我發現,交換兩個加數的位置和不變。
(教師板書這句話)
師:其他同學呢?(見沒有補充)老師的發現和他很相似,但略有不同。(教師隨即出示:交換3和4的位置和不變)比較我們倆給出的結論,你想説些什麼?
生2:我覺得您(老師)給出的結論只代表了一個特例,但他(生1)給出的結論能代表許多情況。
生3:我也同意他(生2)的觀點,但我覺得單就黑板上的這一個式子,就得出“交換兩個加數的位置和不變”好像不太好。萬一其它兩個數相加的時候,交換它們的位置和不等呢!我還是覺得您的觀點更準確、更科學一些。
師:的確,僅憑一個特例就得出“交換兩個加數的位置和不變”這樣的結論,似乎草率了點。但我們不妨把這一結論當作一個猜想(教師隨即將生1給出的結論中的“。”改為“?”)。既然是猜想,那麼我們還得——
生:驗證。
驗證猜想,需要怎樣的例子?
師:怎麼驗證呢?
生1:我覺得可以再舉一些這樣的例子?
師:怎樣的例子,能否具體説説?
生1:比如再列一些加法算式,然後交換加數的位置,看看和是不是跟原來一樣。(學生普遍認可這一想法)
師:那你們覺得需要舉多少個這樣的例子呢?
生2:五、六個吧。
生3:至少要十個以上。
生4:我覺得應該舉無數個例子才行。不然,你永遠沒有説服力。萬一你沒有舉到的例子中,正好有一個加法算式,交換他們的位置和變了呢?(有人點頭贊同)
生5:我反對!舉無數個例子是不可能的,那得舉到什麼時候才好?如果每次驗證都需要這樣的話,那我們永遠都別想得到結論!
師:我個人贊同你(生5)的觀點,但覺得他(生4)的想法也有一定道理。綜合兩人的觀點,我覺得是不是可以這樣,我們每人都來舉三、四個例子,全班合起來那就多了。同時大家也留心一下,看能不能找到“交換加數位置和發生變化”的情況,如果有及時告訴大家行嗎?
學生一致贊同,隨後在作業紙上嘗試舉例。
師:正式交流前,老師想給大家展示同學們在剛才舉例過程中出現的兩種不同的情況。
(教師展示如下兩種情況:1.先寫出12+23和23+12,計算後,再在兩個算式之間添上“=”。2.不計算,直接從左往右依次寫下“12+23=23+12”。)
師:比較兩種舉例的情況,想説些什麼?
生6:我覺得第二種情況根本不能算舉例。他連算都沒算,就直接將等號寫上去了。這叫不負責任。(生笑)
生7:我覺得舉例的目的就是為了看看交換兩個加數的位置和到底等不等,但這位同學只是照樣子寫了一個等式而已,至於兩邊是不是相等,他想都沒想。這樣舉例是不對的,不能驗證我們的猜想。
(大家對生6、生7的發言表示贊同。)
師:哪些同學是這樣舉例的,能舉手示意一下嗎?
(幾位同學不好意思地舉起了手。)
師:明白問題出在哪兒了嗎?(生點頭)為了驗證猜想,舉例可不能亂舉。這樣,再給你們幾位一次補救的機會,迅速看看你們寫出的算式,左右兩邊是不是真的相等。
師:其餘同學,你們舉了哪些例子,又有怎樣的發現?
生8:我舉了三個例子,7+8=8+7,2+9=9+2,4+7=7+4。從這些例子來看,交換兩個加數的位置和不變。
生9:我也舉了三個例子,5+4=4+5,30+15=15+30,200+500=500+200。我也覺得,交換兩個加數的位置和不變。
(注:事實上,選生8、生9進行交流,是教師有意而為之。)
師:兩位同學舉的例子略有不同,一個全是一位數加一位數,另一個則有一位數加一位數、二位數加兩位數、三位數加三位數。比較而言,你更欣賞誰?
生10:我更欣賞第一位同學,他舉的例子很簡單,一看就明白。
生11:我不同意。如果舉得例子都是一位數加一位數,那麼我們最多隻能説,交換兩個一位數的位置和不變。至於加數是兩位數、三位數、四位數等等,就不知道了。我更喜歡第二位同學的。
生12:我也更喜歡第二位同學的,她舉的例子更全面。我覺得,舉例就應該這樣,要考慮到方方面面。
(多數學生表示贊同。)
師:如果這樣的話,那你們覺得下面這位同學的舉例,又給了你哪些新的啟迪?
教師出示作業紙:0+8=8+0,6+21=21+6,1/9+4/9=4/9+1/9。
生:我們在舉例時,都沒考慮到0的問題,但他考慮到了。
生:他還舉到了分數的例子,讓我明白了,不但交換兩個整數的位置和不變,交換兩個分數的位置和也不變。
師:沒錯,因為我們不只是要説明“交換兩個整數的位置和不變”,而是要説明,交換——
生:任意兩個加數的位置和不變。
師:看來,舉例驗證猜想,還有不少的學問。現在,有了這麼多例子,能得出“交換兩個加數的位置和不變”這個結論了嗎?(學生均表示認同)有沒有誰舉例時發現了反面的例子,也就是交換兩個加數位置和變了?(學生搖頭)這樣看來,我們能驗證剛才的猜想嗎?
生:能。
(教師重新將“?”改成“。”,並補充成為:“在加法中,交換兩個加數的位置和不變。”)
師:回顧剛才的學習,除了得到這一結論外,你還有什麼其它收穫?
生:我發現,只舉一、兩個例子,是沒法驗證某個猜想的,應該多舉一些例子才行。
生:舉的例子儘可能不要雷同,最好能把各種情況都舉到。
師:從“朝三暮四”的寓言中,我們得出“3+4=4+3”,進而形成猜想。隨後,又通過舉例,驗證了猜想,得到了這一規律。該給這一規律起什麼名稱呢?
(學生交流後,教師揭示“加法交換律”,並板書。)
師:在這一規律中,變化的是兩個加數的??(板書:變)
生:位置。
師:但不變的是??
生:它們的'和。(板書:不變)
師:原來,“變”和“不變”有時也能這樣巧妙地結合在一起。
結論,是終點還是新的起點?
師:從個別特例中形成猜想,並舉例驗證,是一種獲取結論的方法。但有時,從已有的結論中通過適當變換、聯想,同樣可以形成新的猜想,進而形成新的結論。比如(教師指讀剛才的結論,加法的“加”字予以重音),“在加法中,交換兩個加數的位置和不變。”那麼,在——
生1:(似有所悟)減法中,交換兩個數的位置,差會不會也不變呢?
(學生中隨即有人作出迴應,“不可能,差肯定會變。”)
師:不急於發表意見。這是他(生1)通過聯想給出的猜想。
(教師隨即板書:“猜想一:減法中,交換兩個數的位置差不變?”)
生2:同樣,乘法中,交換兩個乘數的位置積會不會也不變?
(教師板書:“猜想二:乘法中,交換兩個數的位置積不變?”)
生3:除法中,交換兩個數的位置商會不變嗎?
(教師板書:“猜想三:除法中,交換兩個數的位置商不變?”)
師:通過聯想,同學們由“加法”拓展到了減法、乘法和除法,這是一種很有價值的思考。除此以外,還能通過其它變換,形成不一樣的新猜想嗎?
生4:我在想,如果把加法交換律中“兩個加數”換成“三個加數”、“四個加數”或更多個加數,不知道和還會不會不變?
師:這是一個與眾不同的、全新的猜想!如果猜想成立,它將大大豐富我們對“加法交換律”的認識。(教師板書“猜想四:在加法中,交換幾個加數的位置和不變?”)現在,同學們又有了不少新的猜想。這些猜想對嗎?又該如何去驗證呢?選擇你最感興趣的一個,用合適的方法試着進行驗證。
(學生選擇猜想,舉例驗證。教師參與,適當時給予必要的指導。然後全班交流。)師:哪些同學選擇了“猜想一”,又是怎樣驗證的?
生5:我舉了兩個例子,結果發現8-6=2,但6-8卻不夠減;3/5-1/5=2/5,但1/5-3/5卻不夠減。所以我認為,減法中交換兩個數的位置差會變的,也就是減法中沒有交換律。
師:根據他舉的例子,你們覺得他得出的結論有道理嗎?
生:有。
師:但老師舉的例子中,交換兩數位置,差明明沒變嘛。你看,3-3=0,交換兩數的位置後,3-3還是得0;還有,14-14=14-14,100-100=100-100,這樣的例子多着呢。
生6:我反對,老師您舉的例子都很特殊,如果被減數和減數不一樣,那就不行了。
生7:我還有補充,我只舉了一個例子,2-1≠1-2,我就沒有繼續往下再舉例。 師:哪又是為什麼呢?
生7:因為我覺得,只要有一個例子不符合猜想,那猜想肯就錯了。
師:同學們怎麼理解他的觀點。
生8:(略。)
生9:我突然發現,要想説明某個猜想是對的,我們必須舉好多例子來證明,但要想説明某個猜想是錯的,只要舉出一個不符合的例子就可以了。
師:瞧,多深刻的認識!事實上,你們剛才所提到的符合猜想的例子,數學上我們就稱作“正例”,至於不符合猜想的例子,數學上我們就稱作??
生:反例。
(有略。)
師:關於其它幾個猜想,你們又有怎樣的發現?
生10:我研究的是乘法。通過舉例,我發現乘法中交換兩數的位置積也不變。
師:能給大家説説你舉的例子嗎?
生10:5×4=4×5,0×100=100×0,18×12=12×18。
(另有數名同學交流自己舉的例子,都侷限在整數範圍內。)
師:那你們都得出了怎樣的結論?
生11:在乘法中,交換兩數的位置積不變。
生12:我想補充。應該是,在整數乘法中,交換兩數的位置積不變,這樣説更保險一些。
師:你的思考很嚴密。在目前的學習範圍內,我們暫且先得出這樣的結論吧,等學完分數乘法、小數乘法後,再補充舉些例子試試,到時候,我們再來完善這一結論,你們看行嗎?
(對猜想三、四的討論略。)
隨後,教師引導學生選擇完成教材中的部分習題(略),從正、反兩面鞏固對加法、乘法交換律的理解,並藉助實際問題,溝通“交換律”與以往算法多樣化之間的聯繫。
怎樣的收穫更有價值?
師:通過今天的學習,你有哪些收穫?
生:我明白了,加法和乘法中有交換律,但卻沒有減法交換律或除法交換律。
生:我發現,有了猜想,還需要舉許多例子來驗證,這樣得出的結論才準確。
生:我還發現,只要能舉出一個反例,那我們就能肯定猜想是錯誤的。
生:舉例驗證時,例子應儘可能多,而且,應儘可能舉一些特殊的例子,這樣,得出的結論才更可靠。
師:只有一個例子,行嗎?
生:不行,萬一遇到特殊情況就不好了。
(作為補充,教師給學生介紹瞭如下故事:三位學者由倫敦去蘇格蘭參加會議,越過邊境不久,發現了一隻黑羊。“真有意思,”天文學家説:“蘇格蘭的羊都是黑的。”“不對吧。”物理學家説,“我們只能得出這樣的結論:在蘇格蘭有一些羊是黑色的。”數學家馬上接着説:“我覺得下面的結論可能更準確,那就是:在蘇格蘭,至少有一個地方,有至少一隻羊,它是黑色的。”)
必要的拓展:讓結論增殖!
師:在本課即將結束的時候,依然有一些問題需要留給大家進一步展開思考。
(教師出示如下算式:20-8-6○20-6-8 ; 60÷2÷3○60÷3÷2)
師:觀察這兩組算式,你發現什麼變化了嗎?
生:我發現,第一組算式中,兩個減數交換了位置,第二組算式中,兩個除數也交換了位置。
師:交換兩個減數或除數,結果又會怎樣?由此,你是否又可以形成新的猜想?利用本課所掌握的方法,你能通過進一步的舉例驗證猜想並得出結論嗎?這些結論和我們今天得出的結論有衝突嗎,又該如何去認識?
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