《函式的單調性》教學案例

課題：§1.3.1

教學目的：（1）通過已學過的函式特別是二次函式，理解函式的單調性及其幾何意義；

（2）學會運用函式圖象理解和研究函式的性質；

（3）能夠熟練應用定義判斷數在某區間上的的單調性．

教學重點：函式的單調性及其幾何意義．

教學難點：利用函式的單調性定義判斷、證明函式的`單調性．

教學過程：

一、引入課題

通過最近比較熱門話題的股票作為引題，用上證指數隨時間的“跌”、“漲”以及人們往往都會在漲到最高點賣出在最低點買進，形象刻畫本課的要講授的概念：函式的單調性以及最大最小值。

師：函式的性質的應用就在我們的生活中，我們的周邊，如一天氣溫隨時間的變化等。那我們今天就先來學習函式的單調性。

1． 畫出下列函式的圖象，觀察其變化規律：

1）f(x) = x

1 從左至右圖象上升還是下降 ______?

2 在區間 ____________ 上，隨著x的增大，f(x)的值隨著 ________ ．

2）f(x) = -2x+1

1 從左至右圖象上升還是下降 ______?

2 在區間 ____________ 上，隨著x的增大，f(x)的值隨著 ________ ．

3）f(x) = x2

1在區間 ____________ 上，f(x)的值隨著x的增大而 ________ ．

2在區間 ____________ 上，f(x)的值隨著x的增大而 ________ ．

問題設計的目的大體從三個層次上展開。首先畫出影象並觀察影象，描述變化規律，如上升、下降，從幾何直觀角度加以認識；然後，結合圖、表，用自然語言描述，即y隨x的增大而增大（或減小）；最後，用數學符號語言描述變化規律，逐步實現用精確的數學語言刻畫函式的變化規律。問題鏈的設計由具體到抽象，由特殊到一般，由遠及近，一步一步地促使學生形成概念。

問題1： 列表描點，畫函式f（x）＝x2的影象。

意圖：列表描點（自變數取值總是從小到大的選取，這與考察函式單調性時自變數總是從小到大取值是一致的，這也是學生早就熟悉的。這樣可以不必討論，函式在某區間上遞增是指從左到右的問題），通過計算函式值可以體驗當自變數從小到大取值時，對應的函式值的大小變化規律。

說明：教師可以按照p37來excel畫圖。

問題2： 利用畫出的影象，請描述函式值增減變化特徵。

從函式影象及上述表格可以看出（這並不困難）：圖象在y軸左側“下降”，也就是，在區間 上，隨著x的增大，相應的f（x）反而減小；圖象在y軸右側“上升”，也就是，在區間 上，隨著x的增大，相應的f（x）也隨著增大。

意圖：幾何直觀，引導學生關注圖形所反映出的特徵。藉助影象，體驗自變數從小到大變化時，函式值大小變化在圖形上的表現。