不等式基本性質教學設計

作為一名專為他人授業解惑的人民教師，時常要開展教學設計的準備工作，教學設計把教學各要素看成一個系統，分析教學問題和需求，確立解決的程序綱要，使教學效果最優化。寫教學設計需要注意哪些格式呢？以下是小編精心整理的不等式基本性質教學設計，歡迎大家分享。

不等式基本性質教學設計1

一、教材分析

1、本節課的地位、作用和意義

基本不等式又稱為均值不等式，選自普遍高中課程標準實驗教科書(北京師範大學出版社出版)必修5，第3章第3節內容。學生在國中學習了完全平方公式、圓、初步認識了不等式，同時，在本章前面兩節學習了比較大小、一元二次不等式等，這些給本節課提供了堅實的基礎；基本不等式是後面基本不等式與最大（小）值的基礎，在高中數學中有着比較重要的地位，在工業生產等有比較廣的實際應用。

2、本節課的教學重點和難點

我通過解讀新課標和分析教材，認為：

重點：通過對新課程標準的解讀，教材內容的解析，我認為結果固然重要，但數學學習過程更重要，它有利於培養學生的數學思維和探究能力，所以均值不等式的推導是本節課的重點之一；再者，均值不等式有比較廣的應用，需重點掌握，而掌握均值不等式，關鍵是對不等式成立條件的準確理解，因此，均值不等式以及其成立的條件也是教學重點。

突出重點的方法：我將採用①用分組討論，多媒體展示、引導啟發法來突出均值不等式的推導；用重複法（在課堂的每一環節，以各種方式進行強調均值不等式和其成立的條件），變式教學來突出均值不等式及其成立的條件。

難點：很多同學對均值不等式成立的條件的認識不深刻，在應用時候常常出錯誤，所以，均值不等式成立的條件是本節課的難點。

突破難點的'方法：我將採用用重複法（在課堂的每一環節，以各種方式進行強調均值不等式和其成立的條件），變式教學等等來突破均值不等式成立的條件這個難點。

二、教學目標分析

1、知識與技能目標

（2）理解的幾何意義。

（3）能3分鐘內寫出基本不等式，並説明其成立的條件，準確率為95%

2、過程方法與能力目標

（1）探索並瞭解均值不等式的證明過程。

（2）體會均值不等式的證明方法。

3、情感、態度、價值觀目標

（1）通過探索均值不等式的證明過程，培養探索、研究精神。

（2）通過對均值不等式成立的條件的分析，養成嚴謹的科學態度，勇於提出問題、分析問題的習慣。“探究”基本不等式的證明（1）

【三維目標】：

一、知識與技能

1.探索並瞭解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法；

2.會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題；

二、過程與方法

三、情感、態度與價值觀

1.通過本節的學習，體會數學來源於生活，提高學習數學的興趣

【教學重點與難點】：

【學法與教學用具】：

2.教學用具：直角板、圓規、投影儀（多媒體教室）

【授課類型】：新授課

【課時安排】：1課時

【教學思路】：

一、創設情景，揭示課題

1.提問：與哪個大？

2.基本不等式的幾何背景：

如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關係或不等關係嗎？（教師引導學生從面積的關係去找相等關係或不等關係）。

二、研探新知

重要不等式：一般地，對於任意實數、，我們有，當且僅當時，等號成立。

證明:

所以

不等式基本性質教學設計2

一、教學設計理念：

這節課的目標定位分為三個層面：

本節課我設計了五個環節：

①變教學生學會知識為指導學生會學知識；

導入新課

師同學們能在這個圖中找出一些相等關係或不等關係嗎？如何找？?

【三維目標】：

一、知識與技能

二、過程與方法

本節課是基本不等式應用舉例的延伸。整堂課要圍繞如何引導學生分析題意、設未知量、找出數量關係進行求解這個中心。

三、情感、態度與價值觀

1.引發學生學習和使用數學知識的興趣，發展創新精神，培養實事求是、理論與實際相結合的科學態度和科學道德。

【三維目標】：

一、知識與技能

二、過程與方法

三、情感、態度與價值觀

1.通過本節的學習，體會數學來源於生活，提高學習數學的興趣

二、重點、難點解讀

三、知識點精析

一、教學目標

1．知識與技能

探究基本不等式的證明過程，初步理解基本不等式

2．過程與方法

通過對基本不等式的不同角度的探究，滲透數形結合及轉化的數學思想．

3．情感、態度與價值觀：

三、教學資源普通高中數學課程標準（實驗）人教a版教材必修5

中學數學週刊20xx年第10期百度

四、教學方法與手段

啟發學生探究，多媒體輔助教學

五、教學過程

（一）創設情境：

你能在這個圖中找出一些相等關係或不等關係嗎？

設計意圖：創設問題情境，為問題的引出做鋪墊

（二）新知探究：圖1

將風車抽象成圖2

當直角三角形變為等腰直角三角形,圖2

即時,正方形efgh縮為一個點,這時有

2．過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；

【教學重點】

應用數形結合的思想理解不等式，並從不同角度探索不等式的證明過程；

【教學難點】

基本不等式等號成立條件

【教學過程】

1.課題導入

基本不等式的幾何背景：

教師引導學生從面積的關係去找相等關係或不等關係

2.講授新課

1．探究圖形中的不等關係

將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形abcd中右個全等的直角三角形。設直角三角形的兩條直角邊長為a,b那麼正方形的.邊長為。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為。由於4個直角三角形的面積小於正方形的面積，我們就得到了一個不等式：。

當直角三角形變為等腰直角三角形，即a=b時，正方形efgh縮為一個點，這時有。

2．得到結論：一般的，如果

3．思考證明：你能給出它的證明嗎？

不等式基本性質教學設計3

知識與技能：

理解並掌握不等式的三個性質，能運用性質，用不等號連接某些代數式，進行不等式的變形。

過程與方法：

經歷自主學習，小組交流合作學習，以及課堂上的成果，培養學生自主分析問題，解決問題的能力，養成與他人交流，共同學習，共同進步的學習方法。

情感態度與價值觀：在自主分析，交流合作，成果的活動中，感受學習的樂趣，體會與人合作的快樂。

教學難點：

正確運用不等式的性質。

教學重點：

理解並掌握不等式的性質3。

教學過程：

一、創設情境引入新課

利用一台平衡的天平提出問題，引入新課

1、給不平衡的天平兩邊同時加入相同質量的砝碼，天平會有什麼變化？

2、不平衡的天平兩邊同時拿掉相同質量的`砝碼，天平會有什麼變化？

3、如果對不平衡的天平兩邊砝碼的質量同時擴大相同的倍數，天平會平衡嗎？縮小相同的倍數呢？通過天平演示，結合自己的觀察和思考，讓學生感受生活中的不等關係。

二、合作交流探究新知

1、問題情景：數學老師比語文老師年齡小。

1、10年後誰的年齡大？

2、20年之後呢？

3、5年之前呢？

假設數學，語文兩位老師的年齡分別為a，b，則a

a+10

a+20

a—5

2、探索與發現

一組：已知5>3，則5+2 3+2

5—2 3—2

二組：已知—1

—1—33—3

想一想不等號的方向改變嗎？

3、歸納：不等式的性質1：

不等式兩邊都加（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變

如果a＜b，那麼a+c

如果a＞b，那麼a+c >b+c，a—c >b—c。

不等號方向不改變！

4、大膽猜想

不等式兩邊都加（或減去）同一個數，不等號方向不改變

不等式兩邊都加（或減去）同一個數，不等號方向不改變

不等式兩邊都乘（或除以）同一個數（不為零），不等號的方向呢？

5、探索與發現

已知4

一組：4×2 6×（—2）；

4÷26÷（—2）。

思考不等號方向改變嗎？

不等式兩邊都乘（或除以）一個不為零的數，不等號方向改不改變和什麼有關？

6、不等式的性質2：

不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。

如果a>b，且c>0，那麼ac>bc，如果a0，那麼ac

7、不等式的性質3：

不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。

如果a>b，且c

如果a

三、鞏固提高拓展延伸

例1：判斷下列各題的推導是否正確？為什麼（學生口答）

（1）因為7.5＞5.7，所以—7.5＜—5.7；

（2）因為a+8＞4，所以a＞—4；

（3）因為4a＞4b，所以a＞b；

（4）因為—1＞—2，所以—a—1＞—a—2；

（5）因為3＞2，所以3a＞2a．

（1）正確，根據不等式基本性質3．

（2）正確，根據不等式基本性質1．

（3）正確，根據不等式基本性質2．

（4）正確，根據不等式基本性質1．

（5）不對，應分情況逐一討論．

當a＞0時，3a＞2a．（不等式基本性質2）

當a=0時，3a=2a．

當a＜0時，3a＜2a．（不等式基本性質3）

考考你！0>4，哪裏錯了？

已知m>n，兩邊都乘以4，得4m>4n，兩邊都減去4m，得0>4n—4m，即0>4（n—m），兩邊同時除以（n—m），得0>4。

等式與不等式的性質

1、不等式的三個性質。

2、等式與不等式的性質對比。

先前後比較，再定不等號

四、總結歸納

1、等式性質與不等式性質的不同之處；

2、在運用“不等式性質3"時應注意的問題．學生通過總結，可以幫助自己從整體上把握本節課所學知識培養良好的學習習慣，也為下節課學好解不等式打下基礎。

五、佈置作業

1、必做題：教科書第134頁習題9.1第4、5題

2、選做題：教科書第134頁習題9。 1第7題．

不等式基本性質教學設計4

教學分析

本節課的研究是對國中不等式學習的延續和拓展，也是實數理論的進一步發展。在本節課的學習過程中，將讓學生回憶實數的基本理論，並能用實數的基本理論來比較兩個代數式的大小。

通過本節課的學習，讓學生從一系列的具體問題情境中，感受到在現實世界和日常生活中存在着大量的不等關係，並充分認識不等關係的存在與應用。對不等關係的相關素材，用數學觀點進行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程。即能用不等式或不等式組把這些不等關係表示出來。

在本節課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易於處理的問題，其用意在於讓學生注意對數學知識和方法的應用，同時也能激發學生的學習興趣，並由衷地產生用數學工具研究不等關係的願望。根據本節課的教學內容，應用再現、回憶得出實數的基本理論，並能用實數的基本理論來比較兩個代數式的大小。

在本節教學中，教師可讓學生閲讀書中實例，充分利用數軸這一簡單的數形結合工具，直接用實數與數軸上點的一一對應關係，從數與形兩方面建立實數的順序關係。要在温故知新的基礎上提高學生對不等式的認識。

三維目標

1.在學生了解不等式產生的實際背景下，利用數軸回憶實數的基本理論，理解實數的大小關係，理解實數大小與數軸上對應點位置間的關係。

2.會用作差法判斷實數與代數式的大小，會用配方法判斷二次式的大小和範圍。

3.通過温故知新，提高學生對不等式的認識，激發學生的學習興趣，體會數學的奧祕與數學的結構美。

重點難點

教學重點：比較實數與代數式的大小關係，判斷二次式的大小和範圍。

教學難點：準確比較兩個代數式的大小。

課時安排

1課時

教學過程

導入新課

思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衞星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學生帶入“橫看成嶺側成峯，遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學生在具體情境中感受到不等關係在現實世界和日常生活中是大量存在的，由此產生用數學研究不等關係的強烈願望，自然地引入新課。

思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數學成績的多少等現實生活中學生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數量上存在的不等關係。這些不等關係怎樣在數學上表示出來呢？讓學生自由地展開聯想，教師組織不等關係的相關素材，讓學生用數學的觀點進行觀察、歸納，使學生在具體情境中感受到不等關係與相等關係一樣，在現實世界和日常生活中大量存在着。這樣學生會由衷地產生用數學工具研究不等關係的願望，從而進入進一步的探究學習，由此引入新課。

推進新課

新知探究

提出問題

1回憶國中學過的不等式，讓學生説出“不等關係”與“不等式”的異同。怎樣利用不等式研究及表示不等關係？

2在現實世界和日常生活中，既有相等關係，又存在着大量的不等關係。你能舉出一些實際例子嗎？

3數軸上的任意兩點與對應的兩實數具有怎樣的關係？

4任意兩個實數具有怎樣的關係？用邏輯用語怎樣表達這個關係？

活動：教師引導學生回憶國中學過的不等式概念，使學生明確“不等關係”與“不等式”的異同。不等關係強調的是關係，可用符號“>”“b”“a

教師與學生一起舉出我們日常生活中不等關係的例子，可讓學生充分合作討論，使學生感受到現實世界中存在着大量的不等關係。在學生了解了一些不等式產生的實際背景的前提下，進一步學習不等式的有關內容。

實例1：某天的天氣預報報道，最高氣温32 ℃，最低氣温26 ℃.

實例2：對於數軸上任意不同的兩點A、B，若點A在點B的左邊，則xA

實例3：若一個數是非負數，則這個數大於或等於零。

實例4：兩點之間線段最短。

實例5：三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊。

實例6：限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40 km/h.

實例7：某品牌酸奶的質量檢查規定，酸奶中脂肪的含量f應不少於2.5%，蛋白質的含量p應不少於2.3%.

教師進一步點撥：能夠發現身邊的數學當然很好，這説明同學們已經走進了數學這門學科，但作為我們研究數學的人來説，能用數學的眼光、數學的觀點進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個研究數學的人必須要做的，那麼，我們可以用我們所研究過的什麼知識來表示這些不等關係呢？學生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關係。那麼不等式就是用不等號將兩個代數式連結起來所成的式子。如-71+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等。

教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來。實例1，若用t表示某天的氣温，則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3，若用x表示一個非負數，則x≥0.實例5|AC|+|BC|>|AB|，如下圖。

|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

|AB|-|BC|

實例6，若用v表示速度，則v≤40 km/h.實例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對於實例7，教師應點撥學生注意酸奶中的'脂肪含量與蛋白質含量需同時滿足，避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對的。但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.

對以上問題，教師讓學生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個結論。

討論結果：

(1)(2)略；(3)數軸上任意兩點中，右邊點對應的實數比左邊點對應的實數大。

(4)對於任意兩個實數a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b

應用示例

例1(教材本節例1和例2)

活動：通過兩例讓學生熟悉兩個代數式的大小比較的基本方法：作差，配方法。

點評：本節兩例的求解，是藉助因式分解和應用配方法完成的，這兩種方法是代數式變形時經常使用的方法，應讓學生熟練掌握。

變式訓練

1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關係是( )

A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x)

C.f(x)

答案：A

解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).

2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小。

解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.

∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.

例2比較下列各組數的大小(a≠b).

(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);

(2)a4-b4與4a3(a-b).

活動：比較兩個實數的大小，常根據實數的運算性質與大小順序的關係，歸結為判斷它們的差的符號來確定。本例可由學生獨立完成，但要點撥學生在最後的符號判斷説理中，要理由充分，不可忽略這點。

解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.

∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.

(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].

∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號)，又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]

∴a4-b4

點評：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號。變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變為“積”，後者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”，也可兩者並用。

變式訓練

已知x>y，且y≠0，比較xy與1的大小。

活動：要比較任意兩個數或式的大小關係，只需確定它們的差與0的大小關係。

解：xy-1=x-yy.

∵x>y，∴x-y>0.

當y

當y>0時，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.

點評：當字母y取不同範圍的值時，差xy-1的正負情況不同，所以需對y分類討論。

例3建築設計規定，民用住宅的窗户面積必須小於地板面積。但按採光標準，窗户面積與地板面積的比值應不小於10%，且這個比值越大，住宅的採光條件越好。試問：同時增加相等的窗户面積和地板面積，住宅的採光條件是變好了，還是變壞了？請説明理由。

活動：解題關鍵首先是把文字語言轉換成數學語言，然後比較前後比值的大小，採用作差法。

解：設住宅窗户面積和地板面積分別為a、b，同時增加的面積為m，根據問題的要求a

由於a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，於是a+mb+m>ab.又ab≥10%，因此a+mb+m>ab≥10%.

所以同時增加相等的窗户面積和地板面積後，住宅的採光條件變好了。

點評：一般地，設a、b為正實數，且a0，則a+mb+m>ab.

變式訓練

已知a1，a2，…為各項都大於零的等比數列，公比q≠1，則( )

A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8

C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定

答案：A

解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4

=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).

∵{an}各項都大於零，∴q>0，即1+q>0.

又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.

知能訓練

1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恆成立的不等式的個數為( )

A.3 B.2 C.1 D.0

2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小。

答案：

1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.

∴只有①恆成立。

2.解：因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，所以2x2+5x+9>x2+5x+6.

課堂小結

1.教師與學生共同完成本節課的小結，從實數的基本性質的回顧，到兩個實數大小的比較方法；從例題的活動探究點評，到緊跟着的變式訓練，讓學生去繁就簡，聯繫舊知，將本節課所學納入已有的知識體系中。

2.教師畫龍點睛，點撥利用實數的基本性質對兩個實數大小比較時易錯的地方。鼓勵學有餘力的學生對節末的思考與討論在課後作進一步的探究。

作業

習題3—1A組3;習題3—1B組2.

設計感想

1.本節設計關注了教學方法的優化。經驗告訴我們：課堂上應根據具體情況，選擇、設計最能體現教學規律的教學過程，不宜長期使用一種固定的教學方法，或原封不動地照搬一種實驗模式。各種教學方法中，沒有一種能很好地適應一切教學活動。也就是説，世上沒有萬能的教學方法。針對個性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥。

2.本節設計注重了難度控制。不等式內容應用面廣，可以説與其他所有內容都有交匯，歷來是大學聯考的重點與熱點。作為本章開始，可以適當開闊一些，算作拋磚引玉，讓學生有個自由探究聯想的平台，但不宜過多向外拓展，以免對學生產生負面影響。

3.本節設計關注了學生思維能力的訓練。訓練學生的思維能力，提升思維的品質，是數學教師直面的重要課題，也是中學數學的主線。採用一題多解有助於思維的發散性及靈活性，克服思維的僵化。變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度，解題後的點撥反思有助於學生思維批判性品質的提升。

備課資料

備用習題

1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小。

2.試判斷下列各對整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.

3.已知x>0，求證：1+x2>1+x .

4.若x

5.設a>0，b>0，且a≠b，試比較aabb與abba的大小。

參考答案：

1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)

=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)

=1>0，∴(x-3)2>(x-2)(x-4).

2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)

=m2-2m+5+2m-5

=m2.

∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.

∴m2-2m+5≥-2m+5.

(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)

=a2-4a+3+4a-1

=a2+2.

∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.

∴a2-4a+3>-4a+1.

3.證明：∵(1+x2)2-(1+x)2

=1+x+x24-(x+1)

=x24，又∵x>0，∴x24>0.

∴(1+x2)2>(1+x)2.

由x>0，得1+x2>1+x.

4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]

=-2xy(x-y).

∵x0，x-y

∴-2xy(x-y)>0.

∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，當a>b>0時，ab>1，a-b>0，則(ab)a-b>1，於是aabb>abba.

當b>a>0時，0

則(ab)a-b>1.

於是aabb>abb a.

綜上所述，對於不相等的正數a、b，都有aabb>abba.