大學聯考數學北師大出版

《大學聯考數學北師大版(通用,理)總複習講義 11.1 隨機抽樣》

11.1 隨機抽樣

1． 抽樣調查

(1)抽樣調查

通常情況下，從調查對象中按照一定的方法抽取一部分，進行調查或觀測，獲取數據，並以此對調查對象的某項指標作出推斷，這就是抽樣調查．

(2)總體和樣本

調查對象的全體稱為總體，被抽取的一部分稱為樣本．

(3)抽樣調查與普查相比有很多優點，最突出的有兩點： ①迅速、及時；

②節約人力、物力、財力．

2． 簡單隨機抽樣

(1)(2)3． 分層抽樣

(1)定義：將總體按其屬性特徵分成若干類型，然後在每個類型中按照所佔比例隨機抽取一定的樣本．這種抽樣方法通常叫作分層抽樣． (2)分層抽樣的應用範圍：

當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣．

4． 系統抽樣

系統抽樣是將總體中的個體進行編號，等距分組，在第一組中按簡單隨機抽樣抽取第一個樣本，然後按分組的間隔抽取其他樣本．這種抽樣方法也叫等距抽樣或機械抽樣．

1． 判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)

(1)簡單隨機抽樣是一種不放回抽樣．

( √ ) ( × ) ( √ )

(2)簡單隨機抽樣每個個體被抽到的機會不一樣，與先後有關．

(3)系統抽樣在起始部分抽樣時採用簡單隨機抽樣．

(4)要從1 002個學生中用系統抽樣的方法選取一個容量為20的樣本，需要剔除2個學生，這樣對被剔除者不公平．

( × ) ( × )

(5)分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數及分層有關．

2． 在某班的50名學生中，依次抽取學號為5、10、15、20、25、30、35、40、45、50的

10名學生進行作業檢查，這種抽樣方法是 A．隨機抽樣 C．系統抽樣 答案 C

3． 將參加英語口語測試的1 000名學生編號為000,001,002，?，999，從中抽取一個容量為

50的樣本，按系統抽樣的方法分為50組，如果第一組編號為000,001,002，?，019，且第一組隨機抽取的編號為015，則抽取的第35個編號為 A．700 C．695 答案 C

解析 由題意可知，第一組隨機抽取的編號l＝15，

N1 000分段間隔數k＝＝20，則抽取的第35個編號為a35＝15＋(35－1)×20＝695.

n504． 大、中、小三個盒子中分別裝有同一種產品120個、60個、20個，現在需從這三個盒子

中抽取一個樣本容量為25的樣本，較為恰當的抽樣方法為________________． 答案 簡單隨機抽樣

解析 因為三個盒子中裝的是同一種產品，且按比例抽取每盒中抽取的不是整數，所以將三盒中產品放在一起攪勻按簡單隨機抽樣法(抽籤法)較為適合．

5． 一支田徑隊有男運動員48人，女運動員36人．若用分層抽樣的方法從該隊的全體運動

員中抽取一個容量為21的樣本，則抽取男運動員的人數為________． 答案 12

解析 樣本的抽取比例為

211

48＋364

B．669 D．676

( )

B．分層抽樣 D．以上都不是

( )

1

所以應抽取男運動員48＝12(人)．

4

題型一 簡單隨機抽樣

例1 下列抽取樣本的方式是否屬於簡單隨機抽樣？

(1)從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本．

(2)盒子裏共有80個零件，從中選出5個零件進行質量檢驗．在抽樣操作時，從中任意拿出一個零件進行質量檢驗後再把它放回盒子裏． (3)從20件玩具中一次性抽取3件進行質量檢驗．

(4)某班有56名同學，指定個子最高的5名同學參加學校組織的籃球賽．

思維啟迪 判斷一個抽樣是否為簡單隨機抽樣，要判斷是否符合簡單隨機抽樣的特徵．

解

(1)不是簡單隨機抽樣．因為被抽取的樣本總體的個體數是無限的，而不是有限的．

(2)不是簡單隨機抽樣．因為它是放回抽樣．

(3)不是簡單隨機抽樣．因為這是“一次性”抽取，而不是“逐個”抽取．

(4)不是簡單隨機抽樣．因為不是等可能抽樣．

思維昇華 (1)簡單隨機抽樣需滿足：①被抽取的樣本總體的個體數有限；②逐個抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取．(2)簡單隨機抽樣常有抽籤法(適用總體中個體數較少的情況)、隨機數法(適用於個體數較多的情況)．

(2013·江西)總體由編號為01,02，?，19,20的20個個體組成，利用下面的

隨機數表選取5個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為

答案 D

解析 從第1行第5列、第6列組成的數65開始由左到右依次選出的數為08,02,14,07,01，所以第5個個體編號為01. 題型二 分層抽樣

例2 (2013·湖南)某工廠甲、乙、丙三個車間生產了同一種產品，數量分別為120件，80件，

60件．為了解它們的產品質量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進行調查，其中從丙車間的產品中抽取了3件，則n等於 A．9

B．10

C．12

D．13

( )

( )

思維啟迪 分層抽樣，抽樣比是一個定值． 答案 D

3n

解析 ，∴n＝13.

60120＋80＋60

思維昇華 在分層抽樣的過程中，為了保證每個個體被抽到的可能性是相同的，這就要求各層所抽取的個體數與該層所包含的個體數之比等於樣本容量與總體的個體數之比，即ni∶Ni＝n∶N

.

某校共有學生2 000名，各年級男、女生人數如下表．已知在全校學生中隨大學聯考數學北師大。

機抽取1名，抽到二年級女生的概率是0.19.現用分層抽樣的方法在全校抽取64名學生，則應在三年級抽取的學生人數為

A.24 答案 C

解析 依題意我們知道二年級的女生有380人，那麼三年級的學生人數應該是2 000－373－377－380－370＝500，即總體中各個年級的人數比為3∶3∶2，故在分層抽樣中應2

在三年級抽取的學生人數為64×＝16.

8題型三 系統抽樣

例3 將參加夏令營的600名學生編號為001,002，?，600.採用系統抽樣方法抽取一個容量

為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003.這600名學生分住在三個營區，從0

大學聯考數學北師大第三篇:《大學聯考數學北師大版(通用,理)總複習講義 9.3 圓的方程》

9.3 圓的方程

1． 圓的定義

在平面內，到定點的距離等於定長的點的集合叫圓． 2． 3． 圓的標準方程

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中為圓心，為半徑． 4． 圓的一般方程

DE

－，x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是D2＋E2－4F>0，其中圓心為?2?2D＋E－4F

半徑r.

25． 確定圓的方程的方法和步驟

確定圓的方程主要方法是待定係數法，大致步驟為 (1)根據題意，選擇標準方程或一般方程；

(2)根據條件列出關於a，b，r或D、E、F的方程組； (3)解出a、b、r或D、E、F代入標準方程或一般方程． 6． 點與圓的位置關係

點和圓的位置關係有三種．

圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點M(x0，y0) (1)點在圓上：－a)2＋(y－b)2＝r2； (2)點在圓外：－a)2＋(y－b)22； (3)點在圓內：－a)2＋(y

－b)

1． 判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)

(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．

( √ )

(2)已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以AB為直徑的圓的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

( √ )

a1

(3)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓心為(－，－a)，半徑為－3a－4a＋4

22的圓．

( × )

(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.

( √ ) ( )

2． 若點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內部，則實數a的取值範圍是

A．－1

B．0

C．a>1或a<－1 答案 A

解析 因為點(1,1)在圓的內部， ∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，∴－1

3． (2012·遼寧)將圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直線是大學聯考數學北師大。

A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0 答案 C

解析 因為圓心是(1,2)，所以將圓心座標代入各選項驗證知選C.大學聯考數學北師大。

4． 已知圓C經過A(5,1)，B(1,3)兩點，圓心在x軸上，則圓C的方程為______________．

答案 (x－2)2＋y2＝10

解析 設圓心座標為(a,0)?a－5?＋?－1??a－1?＋?－3?，解得a＝2，∴圓心為(2,0)，半徑為10，∴圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10.

5． 若當方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圓取得最大面積時，則直線y＝(k－1)x＋2的.

傾斜角α＝________. 3

答案 π

4

1

解析 rk＋4－4k≤1，當有最大半徑時有最大面積，此時k＝0，r＝1，∴直線方

23π

程為y＝－x＋2，設傾斜角為α，則由tan α＝－1且α∈[0，π)得α

＝4

( )

題型一 求圓的方程

例1 根據下列條件，求圓的方程：

(1)經過P(－2,4)、Q(3，－1)兩點，並且在x軸上截得的弦長等於6； (2)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切於點P(3，－2)． 思維啟迪 (1)設圓的一般方程，利用待定係數法求解．

(2)求圓心和半徑，確定圓的標準方程． 解 (1)設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 將P、Q兩點的座標分別代入得

?2D－4E－F＝20，????3D－E＋F＝－10.

①②

③

又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0. 設x1，x2是方程③的兩根，

由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，

④由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0. 故所求圓的方程為

x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.

4x0－2(2)方法一 如圖，設圓心(x0，－4x0)1，

3－x0∴x0＝1，即圓心座標為(1，－4)，半徑r＝22， 故圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.

方法二 設所求方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，

???3－x?＋?－2－y?＝r，

根據已知條件得?

|x＋y－1|??＝r，

02

02

2

y0＝－4x0，

?x0＝1，

?

解得?y0＝－

4，

??r＝2.

因此所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.

思維昇華 求圓的方程時，應根據條件選用合適的圓的方程．一般來説，求圓的方程有兩種方法：

(1)幾何法，通過研究圓的性質進而求出圓的基本量．確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質：

①圓心在過切點且垂直切線的直線上； ②圓心在任一弦的中垂線上；

③兩圓內切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線．

(2)代數法，即設出圓的方程，用待定係數法求解．

與x軸相切，圓心在直線3x－y＝0上，且被直線x－y＝0截得的弦長為27

的圓的方程為__________________________________________．

答案 (x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9 解析 設所求的圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2， |a－b|

則圓心(a，b)到直線x－y＝0的距離為，

2|a－b|2

∴r2＝＋(7)2，即2r2＝(a－b)2＋14.

2∵所求的圓與x軸相切，∴r2＝b2.

① ② ③

又∵所求圓心在直線3x－y＝0上，∴3a－b＝0.

聯立①②③，解得a＝1，b＝3，r2＝9或a＝－1，b＝－3，r2＝9. 故所求的圓的方程為(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9. 題型二 與圓有關的最值問題