數學積和差公式

sinαsinβ=-[1][cos（α+β）-cos（α-β）]/2【注意等式右邊前端的負號】

cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2

sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2

cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2

這裏用到了sin（-α）=-sinα 即sin（α-β）= - sin（β-α）

證明

法1

積化和差恆等式可以通過展開角的和差恆等式的右手端來證明。

即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開就能證明：

sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]

=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ）-(cosαcosβ+sinαsinβ）]

=-1/2[cos（α+β）-cos（α-β）]

其他的3個式子也是相同的`證明方法。

（該證明法逆向推導可用於和差化積的計算，參見和差化積）

法2

根據歐拉公式，e^ix=cosx+isinx

令x=a+b

得e ^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）

所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa

編輯本段

記憶方法

積化和差公式的形式比較複雜，記憶中以下幾個方面是難點，下面指出了特點各自的簡單記憶方法。

這一點最簡單的記憶方法是通過三角函數的值域判斷。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域應該 是

[-2,2]，而積的值域卻是[-1,1]，因此除以2是必須的。

也可以通過其證明來記憶，因為展開兩角和差公式後，未抵消的兩項相同而造成有係數2，如：

cos（α-β）-cos（α+β）

=(cosαcosβ+sinαsinβ）-(cosαcosβ-sinαsinβ）

=2sinαsinβ

故最後需要除以2。