數學積化和差公式

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高中數學公式：數學積化和差公式

【摘要】鑑於大家對十分關注，小編在此為大家整理了此文“高中數學公式：數學積化和差公式”，供大家參考!

本文題目：高中數學公式：數學積化和差公式

積化和差，指初等數學三角函數部分的一組恆等式。

公式

sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的負號】

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

證明

法1

積化和差恆等式可以通過展開角的和差恆等式的右手端來證明。

即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開就能證明：

sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]

=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]

=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]

其他的3個式子也是相同的證明方法。

(該證明法逆向推導可用於和差化積的計算，參見和差化積)

法2

根據歐拉公式，e^ix=cosx+isinx

令x=a+b

得e ^I(a+b)=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos(a+b)+isin(a+b)

所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa

記憶方法

積化和差公式的形式比較複雜，記憶中以下幾個方面是難點，下面指出了特點各自的簡單記憶方法。

【1】這一點最簡單的記憶方法是通過三角函數的值域判斷。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域應該是

[-2,2]，而積的值域確是[-1,1]，因此除以2是必須的。

也可以通過其證明來記憶，因為展開兩角和差公式後，未抵消的兩項相同而造成有係數2，如：

cos(α-β)-cos(α+β)

=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)

=2sinαsinβ