《數與形》課堂實錄

引導語：想要學好數學，無非是從數字和形狀下手，那麼相關的《數與形》課堂實錄哪裏有呢？接下來是小編為你帶來收集整理的文章，歡迎閲讀！

　一、談話導入

1、師：同學們，我們學過了哪些數學知識？

生：分數乘法。

師：這是關於數的知識。

生：我們學過小數乘法。

師：這也是關於數的知識。

生：我們學過長方體正方體的體積。

師：這是關於形的知識。

生：我們學過比。

師：這是關於數的知識。

生：我們還學過奇數偶數。

師：這也是關於數的知識。

（將以前學過的知識進行整理，都可以分為“數”和“形”兩類）

2、圖片欣賞。

師：讓我們來看一幅圖片，圖片中有什麼？

生：花壇。

師：説具體點。

生：一個正方形花壇。

師：在這句話中就既有數、又有形。

（演示：數：一個 形：正方形 物： 花壇）

師小結：（錄音中不包括）

　　二、探究新知。

1、從1開始的n個連續奇數相加的和是多少？

師：n個是幾個？

生：無數個。

師：這個n代表多少？可以代表300嗎？

生：可以。

師：有可能是300個，有沒有可能是30個？有沒有可能是3個？也就是説，它的個數是不固定的。那它的個數不固定，它的和呢？

生：也不固定。

師：可見這個和必定和這個n有關係。那它到底有什麼聯繫呢？怎麼才能知道它有什麼聯繫？

師：你有方法嗎？想一想你有沒有好的思路？

生：可以自己先算一算。

師：怎麼算？

生：先算出10個，然後再進行推算。

師：真好。他的意思是把n先假定在10個以內，對嗎？很好的策略。複雜的問題往往要從簡單的開始。那我們就聽你的，把n的個數假定在10個以內，舉一些例子來看一看他們有什麼聯繫。幾個最簡單？

生：1個。

師：1個最簡單，那我們來看。如果有1個這樣的奇數那算式也只能是1，和也是1。

師：如果有兩個這樣的奇數相加，那算式應該是什麼樣子的？

生：1+3

師：對嗎？和呢？

生：4

師：它們是不是有聯繫？繼續。3個。

生：1+3+5

師：同意嗎？和呢？

生：9

師：再來一個。

生：1+3+5+7

師：同意嗎？和是？

生：16.

師：我想是不是有同學觀察到了什麼？你有什麼發現？先在小組説説你的發現，關鍵是下面的算式是不是都有這個規律？任選一個驗證一下。

師：（巡視指導）任選一個驗證一下，看看下面的算式是不是也有這樣的規律，規律應該是有連續性的。

2、小組彙報交流。

師：同學們有發現嗎？誰來説一下你有什麼發現。

生：每個後面的數都是加2，而且都是奇數。

生：後面得的這個數都是前面這個數的平方倍。

師：你能找一個數解釋一下嗎？

生：5，算式是1+3+5+7+9=25

師：那你説一下5和25的關係。

生：25是5的平方倍。

師：25是5的平方。你們有沒有這樣的發現？你們驗證的是哪一個？

生：我們驗證的是6.

師：6，6個這樣的奇數相加是多少？

生：36.

師：算式是1+3+5+7+9+11=36，也有這個規律。那大家再來看這些是不是都有這個規律？為了便於觀察，我們可以將算式先隱藏起來，大家看一看，確認一下，有這個規律嗎？

3、小結。

師：按照剛才這個同學的説法，當有1個這樣的奇數相加的時候，它的和就是1×1；也就是1的平方；當有2個這樣的奇數相加，它的和4就是2的平方；9呢？3的平方；16呢？4的平方；25呢？5的平方。依次這樣下去，看來真的有這樣的規律。以此類推，如果有20個這樣的連續奇數相加，你覺得它的和應該是多少？

生：400.

師：怎麼算的？

生：20×20=400

師：那如果有100個這樣的連續奇數的和應該是多少？

生：100×100=10000.

師：以此類推，如果有n個這樣連續奇數相加的和應該是多少？

生：n的平方。

師：齊讀。

生：從1開始的n個連續奇數相加的和是n的平方。

師：這個規律有意思嗎？從1開始的幾個連續奇數，它的和竟然可以用它的個數的平方來算。你覺得奇怪嗎？你不奇怪能不能來解釋一下？為什麼這樣連續奇數相加是它的和可以用個數的平方來算？

生：比如説5，就是5個數相加，它的和就是5的平方。

生：可以用簡便算法來試試。10個連續奇數，可以看做是1+19,3+17,5+15,7+13,9+11，就是5個20相加。

師：你用了另一種算法，但是仍然不能解釋為什麼它們的和要用個數的平方來算。

4、小組交流。

師：説實話，同學們，如果這個道理從數的道理來解釋，還真的不太好解釋，那該怎麼辦？華羅庚説過：“不懂就畫圖”，我們為了讓大家聽得更清楚，老師準備了一幅畫，我們來拼圖。我來做個示範。哪個最簡單？

生：1

師：我用1個紅色的正方形來代表1，1行而且1個，1乘1還是1，下一個1+3,你能用這樣的圖形來表示出來嗎？拼出個1+3行不行？大家小組內都有這樣的小正方形，拼一拼。

（巡視指導）

5、小組展示。

師：請問，這可以表示1+3嗎？（指着橫排成一排的）

師：“1”在哪裏？（紅色）“3”呢？（黃色）這個是不是可以表示1+3？

師：這個正方形可以表示1+3嗎？

生：可以。

師：“1”在哪裏？（紅色）“3”呢？（黃色）。這都表示1+3.關鍵是我們不光是能夠表示1+3，還要解釋1+3為什麼用2×2來算。那哪一個圖形既能表示1+3，又能表示2×2呢？

師：説一説，2×2在哪裏？

生：每行有兩個，有兩個2，就是2×2。

師：有兩列，而且有兩行，就表示2×2。看來，拼成正方形，就可以表示從1開始的這樣的連續奇數相加，還可以表示一個數的平方。這樣的1+3是不是也可以用2×2來算？那下一個，1+3+5又該怎麼拼?你來試試看。

（學生拼圖：1+3+5，教師巡視。）

6、

師：大家看，你們拼成一個正方形了嗎？我看到大家拼的正方形的樣子都不太一樣，顏色的排列不同，這位同學排的好不好？好在哪裏？

生：最小的數量在最裏面，中間的數量在中間，最大的數量在最外邊。

師：對，大家雖然都拼成了正方形，但是我們數學上要講究順序、規律、條理，這位同學拼的非常好。這樣，你能解釋1+3+5用3的平方來算呢？

生：因為他們橫着豎着都是三個。

師：橫着每行有三個，而且有三行，所以可以用3的平方來計算。那1+3+5+7你會拼了嗎？方塊已經沒有了，讓我們來想一想，如果在這個（1+3+5）的基礎上再加上7個，你覺得這7個可以怎麼擺？

生：按照原來的方法再擺一層。

師：繼續想，拼完之後又是什麼圖形？

生：正方形。

師：這個正方形的每條邊上有幾個小方塊？有幾行？（課件演示不同的顏色），這些不同的顏色分別表示幾？為什麼1+3+5+7可以用4的平方來算？

生：因為這幾個不同顏色的方塊拼在一起就組成了大大的正方形，這個正方形可以拼成4行，每行有4個，可以用4的平方來計算。

師：同學們，如果繼續這樣拼下去，再加上一個奇數，9，現在有幾個奇數？而且小正方形每條邊上的個數也變成5個，而且有這樣的5行，所以它的和可以用5的'平方來算。那，繼續這樣拼下去，再增加一個奇數，11，它的總和可以用6的平方來算。再來一行呢？可以用7的平方，以此類推，如果有n個這樣的連續奇數，那就可以用n的平方來算。

師：這個規律你現在弄明白了嗎？我們是怎麼弄明白的？

生：在我們不懂得時候就可以用形狀來解。

生：形可以很簡便的瞭解不會的問題。

7、小結

師：是的，數是很抽象的，很多道理我們需要藉助形的力量來理解，把數化成形之後，可以使複雜的數量關係變得更加的清楚、明白，我們把這樣的過程叫做“化數為形”，然後以形來助數，幫助理解數量關係。

8、

師：那數的規律可以藉助圖形來幫助思考，那形的變化背後是不是也隱藏着數的規律呢？

師：我來口述一個問題，大家來思考。有一種桌子，四面坐人可以坐8個人，如果兩個桌子拼到一起就可以坐12個人，3張桌子拼到一起可以坐16個人，這樣的100張桌子拼到一起可以坐多少個人？

師：你聽懂了嗎？其實這個事挺簡單的，但是用話説卻説不明白，你們有沒有好的方法？

生：畫圖。

師：如果畫出來的話，（課件演示）1張桌子可以坐8個人，2張桌子可以坐12個人，3張桌子可以坐16個人，100張桌子可以坐多少人？小組討論交流，把答案寫在作業紙上。

（小組討論交流。）

師：小組同學來説一説你們的做法。

師：請你藉助圖形來説一説你為什麼這樣做？

生：我們組算的是一共有404人。100張桌子拼在一起，這一邊也就是它的長邊一共有400個人，再加上兩頭有4個人，一共有404人。

生：它每張桌子的兩邊坐4個人，他有100張桌子，再加上邊上就是它的寬分別坐2人，400+4=404人。

師：算式就是100×4,100×4的意思就是每張桌子兩邊都坐4個人，100張桌子就做400個人，旁邊還有4人，所以需要在加上4，等於404人。

師：還有其他做法嗎？

生：我們小組是這樣想的，把第一張桌子去掉的話，每增加一張桌子就增加4個人，8+4×99=404人。

師：算式是這樣的，8先不看，多了99張桌子，每多一張桌子就多4個人，所以多了4×99這些人，然後再加上8人等於404人

師：我想問一下，這是一個圖形的問題，為什麼你們不去畫圖，卻用數來算呢？

生：老師我感覺畫圖太麻煩了，因為它有100張桌子。

師：對，畫圖太麻煩了，這時候需要藉助數的力量，把形的計算問題用數來做會更加的快速、簡便而且準確。那我們把這樣的過程叫做化形為數，然後以數來解形。（板書）

師：同學們，回顧這兩個例子，在第一個例子當中，數的問題可以藉助圖形來思考，而第二個例子當中，形的知識可以藉助數來計算，數和形各有優點，它們一一對應而且可以互相轉化，互為補充，這就意味着要求我們在解決問題的時候要把數和形結合起來，這在數學上是一種重要的思想，就叫“數形結合思想”。

師：對於“數形結合”，我國數學家華羅庚先生有一段話非常好。讓我們一起讀一遍：

生：數缺形時少直覺，形缺數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事休。

師：數形結合百般好，可是怎樣做到數與形的結合呢？我想，這既然是一種思想，那我們還是要落腳到這兩個數上，“思”和“想”，也就是要見“數”思“形”，見“形”想“數”。 試試你能不能夠做到。

9、鞏固練習

師： 有這樣一道算式（3×2），你能夠想到什麼圖形？

生：我能想到一個長方形。

師：為什麼？

生：因為可以想象它的長是3，高是2,6就是他們的面積。

師：大家説有沒有道理？可見數的變化背後卻是隱藏着形。

師：再來看，這是一位同學畫的一副圖形，它用來表示一個數，你覺得它是那一個數呢？

生：我覺得是3.5，因為前面它畫的三根一樣的線表示3個整數，後邊畫了前面一根線的二分之一，所以變成3.5

師：有沒有道理？它可以表示35嗎？

生：可以

師：為什麼可以？

生：比如説他前面三個整數可以想象一個整數為10，然後就是35.

師：有這樣一個數量關係，一袋大米中60千克，吃了四分之三，你能夠想到用什麼圖形來表示它？

生：我想到用一個邊長為4釐米的的長方形來表示。

生：把一個長方形平均分成四份，每份是1釐米。

師：那即是説把它平均分成4份，吃了的是3份。

10、

師：這樣一個圖形，你會想到是幾的平方？為什麼？

生：因為這個正方形邊長均為3，

師：邊長為3可以用3的平方來表示，我們把3的平方還原成像第一張那樣幾個連續奇數的相加這個算式，這應該是什麼樣子的？

生：1+3+5

師：那這樣的一個算是又可以用幾的平方來表示？

生：應該是4的平方，因為把它倒過來後就等於1+3+5+7,所以可以用4的平方來表示，

師：那4的平方你又能想到什麼圖形？

生：可以想象出一個正方形。

師：多大的正方形？

生：邊長為4的正方形。

師：如果把上邊的算式合起來，和應該是多少？

師：想一想，3的平方等於幾？4的平方等於幾？9+16=25，是5的平方

師：5的平方你又能想到什麼圖形？

生：邊長都是5釐米的正方形。

師：大家看，一個有趣的算式出現了，3的平方加4的平方等於5的平方，這個有趣的算式背後還隱藏着有趣的圖形，大家看，直角三角形它的一條直角邊如果是3，另一條直角邊是4，那他的斜邊就一定是5，這是我們國中要學的一個重要的定理，叫做勾股定理。

師：大家看，數形結合的思想不但從國小階段一直在陪伴着我們，更重的是對於我們國中乃至以後的學習有着十分重要的意義，我想，這也正是我們為什麼要在這裏講這樣一節課的目的和價值所在。下面給大家介紹一些有意思的數。

像當中的這些書化成圖形都是正方形，我們就把這樣的數叫做“正方形數”；按照這樣的叫法，這些數叫做“三角形數”；這些可以叫“梯形數”這些呢？“五邊形數”，像這樣的數還有很多。我們現在再來感受一下這些數。你覺得這些數它還只是數嗎？它有形狀嗎？這些形它還只是形嗎？它有數嗎？數和形，形和數能分得開嗎？所以數學上也沒把他們分開，我們就把這樣有形狀的數叫做“形數”，知道形數是誰發現的嗎？他叫“畢達哥拉斯”，他有一個著名的理論，他認為世界上萬事萬物的背後都隱藏着數的規律，它還舉了一個例子，1可以用1個點來表示，2用兩個點來表示，那它就可以練成一條線，3個點就可以煉成一個平面，不同平面的4個點連在一起，他就是一個立體圖形。大家想，世界上的萬事萬物背後，是不是都是以或點、或線、或面、或體這樣的形式存在的，所以他們認為，“萬物皆數”。

這節課馬上就要結束了，老師問問大家，學完這一節課後你有什麼體會？或者説你對於數和形的認識有沒有發生一些改變？

生：數和形它們兩個是不能相離得的。

師：你以前是怎麼認識的？

生：我以前認為給我一個數我就去想他做題的答案。

生：我以前認為光用一個數就能解開一個題，現在我知道了數和形是形影不離的。

師：接着這位同學的話來説，如果把你們以前那種認識歸結為“看形是形、看數是數”的話，那只是數學學習的第一境界；那你覺得第二境界應該是什麼樣子的？“看形不是形，看數不是數”。 看形不是形，是什麼？看數不是數是什麼？也就是説，數形要結合。

下課！