五年級數學《最大公因數》課堂實錄

師：最近小強熱線裏面,劉老漢遇到了一個難題。

（課件出示）我有兩根木料，現在要把它們鋸成同樣長的小木料（小木料要整分米長），不能剩餘。每段小木料可以是幾分米長？最長是幾分米？

（學生獨立思考）

師：你有什麼不明白的地方？

生：什麼叫整分米長？

師：誰知道整分米長？

生：整分米長就是沒有多餘的。

師：還有不明白的麼？這個不能剩餘是什麼意思？

生：不能有浪費的吧。

師：你能不能靜靜想一想，用我們學過的數學知識幫助這個劉老漢解決這個問題。（表揚習慣好的學生）

師：獨立地靜靜地思考。

師：很多人都有智慧的結晶，我們小組內輕輕地交流一下，你是怎樣想的？

（生小組討論，師巡視指導）

師：哪個組來向大家彙報一下？

生1：我代表我們組發言，我們組有三種答案：1、2、4。

師：就三種啊？我發現兩個同學沒認真在聽，人家智慧的結晶要認真聽！

生1：12能被1、2、3、4、6、12整除，16能被1、2、4、8、16整除……

師：這麼長的一段話，你能聽明白嗎？

生：聽明白了。

師：聽明白了？那你們認為3分米行不行？

生：不行。

師：為什麼不行。

生：12分米的那根可以的。16分米的那根就有剩餘了。

師：同意嗎？那5分米呢？

生：兩個都不行。

師：通過剛才的學習討論，你有什麼發現？

生1：我發現就是（很難表達的樣子……）

師：很難表達是嗎？你手上東西拿得那麼寶貝，是不是可以幫你説明問題。

生1：把16和12的因數分出來，再找出一樣的因數

師：聽清楚了麼? 在你的草稿紙上找找看,根據他的意見.找好了馬上舉手。

(生獨立思考)

(展示一學生的作業)

師：你是什麼意思?

生：……公因數。

師：怎麼寫？我覺得公有的公比較好。板書：公因數。你怎麼想到的`？

生：就是公有的數，公共的。

師：誰聽不明白了？

生：就是兩組裏面相同的數就是公因數。

師：同意麼？

生：同意。

師：葛老師有個意見，他這樣的寫法，你們覺得還少點什麼？前面應該加上什麼？

生：加上16的因數：和12的因數：。

師：你們的意思就是説是16又是12的公因數

就可以了。而且16和12的公因數只有1、2、4三個。剛才我看到那個xx的材料裏面用集合圈表示的方式。這種方式表示的話，你們會不會？

師：一起來吧。怎麼寫，我們還是聽你説吧？

（生寫1、2、4，在中間的集合圈）

生：8、16。

師：還有麼？1、2、4不寫了？

生：他已經寫到中間去了。

師：那這邊呢？

生：12、6、3。

師：沒了？

生：沒了。

師：這樣寫有什麼好處？

生：這樣可以看得很清楚。

師：同意麼？

生：同意。

師：他使我們很直觀很清楚的看出來，哪些是16和12的公因數。誰是公因數，你們理解了沒有。

生：還有一個最大的公因數4。

師：今天這節課我們主要來學習公因數和最大公因數。現在我們來研究第二個問題。

（出示兩句話：1、2、4是16和12共有的因數，所以他們是16和12的公因數。

在這些公因數中4是最大的公因數，所以它是16和12的最大公因數。）

（生讀）

師：我聽陳老師説，我們語文裏學過縮句。你能不能把這兩句也來縮成很簡單的一句話？

師：反過來説，有沒有什麼意見？

生：沒有。

（師根據學生回答板述：1、2、4是16和12的公因數，4是16和12的最大公因數）

師：你現在對這個公因數和最大公因數理解了沒有？

生：理解了。

師：下面我們來練一練。不用草稿紙，看大屏幕。（出示12和15、20和5）請你快速判斷，下面這兩組數中有沒有公因數2？下面是第一小組的同學獨領風騷。

生：沒有。

師：你來説説為什麼？ 同意麼？

生：同意。

師：那有沒有公因數3呢？

生：第一組裏面有的，12有3、4、12，15有3、5、15。

師：你怎麼這麼快看出來，它們都有公因數3的？

生：一個數各個數位的和能被3整除就是3的倍數。

師：那你們認為第二組就沒有嘍？那第二組有哪些公因數？

生：有5。

師：我不喜歡説話不完整的同學，你能不能説完整。

生：20和5裏面有公因數1和5。

師：你們的意見呢？

師：我們的數學思考就是要我們深入地想，全面地想，要説完整。 那麼，這個20除了我們剛才講的1和5外，還有哪些因數？

師：我們班通過剛才幫劉老漢解決困難，學到了新知識。看來，這個助人為樂是利人也利已啊。

師：下面的時間我們主要來研究怎樣求兩個數的最大公因數。（出示：18和27的最大公因數是（））。每一個人你靜靜地想一想，你有幾種不同的方法？

（生獨立思考，師巡視指導）

師：小組內交流一下，你們組有幾種不同的方法。

（小組內交流）

生1：

生2：我覺得他可以用剛才學過的集合圈來表示。

生3：我的這種方法有限制。

師：他給人啟發。 你也有啟發了，你來説。

生4：可以分解質因數。

師：什麼是分解質因數。

（展示該生的作業）（生自己介紹）

師：××同學，這個方法你是怎麼想出來的。

師：這種分解質因數來求兩個自然數的最大公因數在我們人教版的教材中是不作要求的。在以前的老教材裏是非常強調的。××同學一不小心就發現了科學家們發現數學真理，真了不起。如果説對他的方法感興趣的話，你課後可以跟他一起去研究研究。這些方法都是可以來幫助我們來求出他們的最大公因數。你掌握了沒有？會不會求？

師：下面比一比，我們六個小組來比一比完成信封裏的作業紙。第一題，預備開始。

（小組開展競賽）

師：做好馬上舉手。看清楚題目，不要一昧求快。

師：看來第一輪的比賽，第一組和第五組表現不錯。繼續第二題開始。

（生獨立完成第二題）

師：比一比誰做得又快，又對，又好。我們請第二組剛才表現得不是很好，派一個代表來説。

（生彙報交流）

師：請仔細觀察每個組的兩個自然數及他們的最大公因數。你發現了什麼？

生：兩個自然數是倍數關係的話，小的那個就是最大公因數。

師：他説什麼了？

師：舉例證明……。

生2：比如16和32。

生3：如果兩個數有一個是質數的話，最大公因數就是1。

生4：不一定。如3和15。

生5：2和4。

師：還沒成熟。下面我還有個問題：為什麼8和9的最大公因數是1呢？

生6：兩個數一個是奇數，一個是偶數。

師：一個是奇數一個是偶數而且是相鄰最大公因數是1。（生自主討論）

師：舉例證明。

生7：有一個數是1的話，他的最大公因數就是1。

生8：最大的公因數一定在兩個數的相差之內。

師：相差之內是什麼意思？

生8：相差之內就是他們的差不可能大於其中的一個數。

師：有什麼證據麼？

生8：你隨便拿兩個數。

生9：我反對。21和4呢？

生8：最大公因數是1，21－4是17，1在17之內的。

師：對的。我們把這個問題，有興趣的話可以拿到以後去研究。這個問題很值得我們探討。像這樣的兩個自然數他們的最大公因數是1，因數只有1。像這樣的兩個數，我們把他叫做互質數。像這樣的互質數，你們能不能舉個例子？

生：101、102。

師：你這個是相鄰的兩個自然數，可以找其他的麼？

生：兩個數都是質數就可以了。

師：舉個例子。不是兩個質數的可以麼，一個質數，一個合數行不行？

生：2和9。

師：兩個合數行不行？像這樣的研究你會發現是很有意思的，對我們以後要學習的知識起到很大的幫助。

師：學到這裏，你覺得這堂課有什麼收穫。誰沒有發言的？

生：知道了什麼是公因數和最大公因數。

師：那你説什麼是公因數和最大公因數。

師：繼續往下做。（出示思考題：我們家的貯藏室長18dm，寬12 dm，如果要用邊長是整分米數的正方形地磚把貯藏室的地面鋪滿（使用的磚都是整塊）。你認為正方形地磚的邊長可以是（ ）分米？其中邊長最大的是（ ）分米？）。

（生彙報）

師：如果説我們剛才研究的是兩個自然數的最大公因數，課後你們還可以去研究一下三個自然數的最大公因數。