鴿巢問題課堂實錄

19世紀的德國數學家狄利克雷運用於解決數學問題的，所以又稱“狄利克雷原理”，也稱之為“鴿巢問題”。“鴿巢問題”的理論本身並不複雜，甚至可以説是顯而易見的。以下是小編為大家整理分享的鴿巢問題課堂實錄，歡迎閲讀參考。

　　鴿巢問題課堂實錄

一、單元教材分析：

本教材專門安排“數學廣角”這一單元，向學生滲透一些重要的數學思想方法。和以往的義務教育教材相比，這部分內容是新增的內容。本單元教材通過幾個直觀例子，藉助實際操作，向學生介紹“鴿巢問題”，使學生在理解“鴿巢問題”這一數學方法的基礎上，對一些簡單的實際問題加以“模型化”，會用“鴿巢問題”加以解決。在數學問題中，有一類與“存在性”有關的問題。在這類問題中，只需要確定某個物體（或某個人）的存在就是可以了，並不需要指出是哪個物體（或人）。這類問題依據的理論我們稱之為“抽屜原理”。“抽屜原理”最先是19世紀的德國數學家狄利克雷運用於解決數學問題的，所以又稱“狄利克雷原理”，也稱之為“鴿巢問題”。“鴿巢問題”的理論本身並不複雜，甚至可以説是顯而易見的。但“鴿巢問題”的應用卻是千變萬化的，用它可以解決許多有趣的問題，並且常常能得到一些令人驚異的結論。因此，“鴿巢問題”在數論、集合論、組合論中都得到了廣泛的應用。

二、單元三維目標導向：

1、知識與技能：（1）引導學生通過觀察、猜測、實驗、推理等活動，經歷探究“鴿巢原理”的過程，初步瞭解“鴿巢原理”的含義，會用“鴿巢原理”解決簡單的實際問題。

2、過程與方法：經歷探究“鴿巢原理”的學習過程，體驗觀察、猜測、實驗、推理等活動的學習方法，滲透數形結合的思想。

3、情感態度與價值觀：（1）體會數學與生活的緊密聯繫，體驗學數學、用數學的樂趣。（2）理解知識的產生過程，受到歷史唯物注意的教育。（3）感受數學在實際生活中的作用，培養刻苦鑽研、探究新知的良好品質。

三、單元教學重難點

重點：應用“鴿巢原理”解決實際問題。引導學會把具體問題轉化成“鴿巢問題”。 難點：理解“鴿巢原理”，找出”鴿巢問題“解決的竅門進行反覆推理。

四、單元學情分析

“鴿巢原理”的變式很多，在生活中運用廣泛，學生在生活中常常遇到此類問題。教學時，要引導學生先判斷某個問題是否屬於“鴿巢原理”可以解決的範疇。能不能將

這個問題同“鴿巢原理”結合起來，是本次教學能否成功的關鍵。所以，在教學中，應有意識地讓學生理解“鴿巢原理”的`“一般化模型”。六年級的學生理解能力、學習能力和生活經驗已達到能夠掌握本章內容的程度。教材選取的是學生熟悉的，易於理解的生活實例，將具體實際與數學原理結合起來，有助於提高學生的邏輯思維能力和解決實際問題的能力。

五、教法和學法

1、讓學生經歷“數學證明”的過程。可以鼓勵、引導學生藉助學具、實物操作或畫草圖的方式進行“説理”。通過“説理”的方式理解“鴿巢原理”的過程是一種數學證明的雛形。通過這樣的方式，有助於提高學生的邏輯思維能力，為以後學習較嚴密的數學證明做準備。

2、有意識地培養學生的“模型”思想。當我們面對一個具體的問題時，能否將這個具體問題和“鴿巢原理”聯繫起來，能否找到該問題中的具體情境與“鴿巢原理”的“一般化模型”之間的內在關係，找出該問題中什麼是“待分的東西”，什麼是“鴿巢”，是解決問題的關鍵。教學時，要引導學生先判斷某個問題是否屬於用“鴿巢原理”可以解決的範疇；再思考如何尋找隱藏在其背後的“鴿巢問題”的一般模型。這個過程是學生經歷將具體問題“數學化”的過程，從紛繁複雜的現實素材中找出最本質的數學模型，是學生數學思維和能力的重要體現。

3、要適當把握教學要求。“鴿巢原理”本身或許並不複雜，但它的應用廣泛且靈活多變。因此，用“鴿巢原理”解決實際問題時，經常會遇到一些困難。例如，有時要找到實際問題與“鴿巢原理”之間的聯繫並不容易，即使找到了，也很難確定用什麼作為“鴿巢”，要用幾個“鴿巢”。因此，教學時，不必過於要求學生“説理”的嚴密性，只要能結合具體問題，把大致意思説出來就可以了，鼓勵學生藉助實物操作等直觀方式進行猜測、驗證。

六、單元課時劃分：本單元計劃課時數：6課時

鴿巢問題？1課時

“鴿巢問題”的具體應用？1課時

練習課？？1課時

單元測評？ 2課時

試卷講評？ 1課時

第五單元數學廣角——鴿巢問題

第一課時

課題：鴿巢問題

教學內容：教材第68—70頁例1、例2，及“做一做”的第1題，及第71頁練習十三的1—2題。

教學目標：

1、知識與技能：瞭解“鴿巢問題”的特點，理解“鴿巢原理”的含義。使學生學會用此原理解決簡單的實際問題。

2、過程與方法：經歷探究“鴿巢原理”的學習過程，體驗觀察、猜測、實驗、推理等活動的學習方法，滲透數形結合的思想。

3、情感、態度和價值觀：通過用“鴿巢問題”解決簡單的實際問題，激發學生的學習興趣，使學生感受數學的魅力。

教學重難點：

重點：引導學生把具體問題轉化成“鴿巢問題”。

難點：找出“鴿巢問題”解決的竅門進行反覆推理。

教學準備：課件。

教學過程：

一、情境導入：

二、探究新知：

1。教學例1。（課件出示例題1情境圖）

思考問題：把4支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎麼放，總有1個筆筒裏至少有2支鉛筆。為什麼呢？“總有”和“至少”是什麼意思？

學生通過操作發現規律→理解關鍵詞的含義→探究證明→認識“鴿巢問題”的學習過程來解決問題。

（1）操作發現規律：通過吧4支鉛筆放進3個筆筒中，可以發現：不管怎麼放，總有1鴿筆筒裏至少有2支鉛筆。

（2）理解關鍵詞的含義：“總有”和“至少”是指把4支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎麼放，一定有1個筆筒裏的鉛筆數大於或等於2支。

（3）探究證明。

方法一：用“枚舉法”證明。

方法二：用“分解法”證明。

把4分解成3個數。

由圖可知，把4分解成3個數，與枚舉法相似，也有4中情況，每一種情況分得的3個數中，至少有1個數是不小於2的數。

方法三：用“假設法”證明。

通過以上幾種方法證明都可以發現：把4只鉛筆放進3個筆筒中，無論怎麼放，總有1個筆筒裏至少放進2只鉛筆。

（4）認識“鴿巢問題”

？像上面的問題就是“鴿巢問題”，也叫“抽屜問題”。在這裏，4支鉛筆是要分放的物體，就相當於4只“鴿子”，“3個筆筒”就相當於3個“鴿巢”或“抽屜”，把此問題用“鴿巢問題”的語言描述就是把4只鴿子放進3個籠子，總有1個籠子裏至少有2只鴿子。

這裏的“總有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思；而“至少”指的是最少，即在所有方法中，放的鴿子最多的那個“籠子”裏鴿子“最少”的個數。

小結：只要放的鉛筆數比筆筒的數量多，就總有1個筆筒裏至少放進2支鉛筆。 ？如果放的鉛筆數比筆筒的數量多2，那麼總有1個筆筒至少放2支鉛筆；如果放的鉛筆比筆筒的數量多3，那麼總有1個筆筒裏至少放2只鉛筆……

小結：只要放的鉛筆數比筆筒的數量多，就總有1個筆筒裏至少放2支鉛筆。

（5）歸納總結：

鴿巢原理（一）：如果把m個物體任意放進n個抽屜裏（m>n，且n是非零自然數），那麼一定有一個抽屜裏至少放進了放進了2個物體。

2、教學例2（課件出示例題2情境圖）

思考問題：（一）把7本書放進3個抽屜，不管怎麼放，總有1個抽屜裏至少有3本書。為什麼呢？（二）如果有8本書會怎樣呢？10本書呢？

學生通過“探究證明→得出結論”的學習過程來解決問題（一）。

（1）探究證明。

方法一：用數的分解法證明。

把7分解成3個數的和。把7本書放進3個抽屜裏，共有如下8種情況：

由圖可知，每種情況分得的3個數中，至少有1個數不小於3，也就是每種分法中最多那個數最小是3，即總有1個抽屜至少放進3本書。

方法二：用假設法證明。

把7本書平均分成3份，7÷3=2（本）。。。。。。1（本），若每個抽屜放2本，則還剩1本。如果把剩下的這1本書放進任意1個抽屜中，那麼這個抽屜裏就有3本書。

（2）得出結論。

通過以上兩種方法都可以發現：7本書放進3個抽屜中，不管怎麼放，總有1個抽屜裏至少放進3本書。

學生通過“假設分析法→歸納總結”的學習過程來解決問題（二）。

（1）用假設法分析。

？8÷3=2（本）。。。。。。2（本），剩下2本，分別放進其中2個抽屜中，使其中2個抽屜都變成3本，因此把8本書放進3個抽屜中，不管怎麼放，總有1個抽屜裏至少放進3本書。

？10÷3=3（本）。。。。。。1（本），把10本書放進3個抽屜中，不管怎麼放，總有1個抽屜裏至少放進4本書。

（2）歸納總結：

綜合上面兩種情況，要把a本書放進3個抽屜裏，如果a÷3=b（本）。。。。。。1（本）或a÷3=b（本）。。。。。。2（本），那麼一定有1個抽屜裏至少放進（b+1）本書。

鴿巢原理（二）：古國把多與kn個的物體任意分別放進n個空抽屜（k是正整數，n是非0的自然數），那麼一定有一個抽屜中至少放進了（k+1）個物體。

三、鞏固練習

1、完成教材第70頁的“做一做”第1題。

學生獨立思考解答問題，集體交流、糾正。

2、完成教材第71頁練習十三的1—2題。

學生獨立思考解答問題，集體交流、糾正。

四、課堂總結

板書設計：

鴿巢問題

思考方法：

枚舉法、分解法、假設法

鴿巢原理（一）：如果把m個物體任意放進n個抽屜裏（m>n，且n是非零自然數）

鴿巢原理（二）：古國把多與kn個的物體任意分別放進n個空抽屜（k是正整數，n是非0的自然數），那麼一定有一個抽屜中至少放進了（k+1）個物體。