有理數的加減法法則及技巧

有理數的加減法法則

有理數的加法法則：符號相同的兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加;符號相反的兩數相加，絕對值相等時，和為零;絕對值不等時，取絕對值較大的數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值;一個數同零相加仍得這個數。有理數的減法法則：減去一個數，等於加上這個數的相反數。

有理數的運算法則

1有理數的加法同樣擁有交換律和結合律(和整數得交換律和結合律一樣)用字母表示為:交換律:a+b=b+a 兩個數相加，交換加數的位置，和不變。結合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)。三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把後兩個數相加，和不變。

有理數減法法則：減去一個數，等於加上這個數的相反數。其中：兩變：減法運算變加法運算，減數變成它的相反數。一不變：被減數不變。可以表示成： a-b=a+(-b)。

有理數的加減法技巧

在有理數的計算中,若能根據算式的結構特徵,選擇適當的方法,靈活運用計算技巧,就可以化繁為簡,化難為易,提高運算的速度和準確性.

一、正數、負數分別相加

例1計算 6+(-3)+7+(-8)+5+(-12)+14+(-9).

分析:從左到右,逐項依次相加,較為複雜,而運用加法交換律和結合律,把正數、負數分別相加就能使問題單純化.

解:6+(-3)+7+(-8)+5+(-12)+14+(-9)

=(6+7+5+14)+[(-3)+(-8)+(-12)+(-9)]

=32+(-32)=0.

二、整數、分數(小數)分別相加

例2計算 7.1146-(-9)+(-3)-3-2+2.8854.

分析:如果逐項依次相加,比較複雜,而運用加法交換律和結合律,將整數、分數、小數分別相加,可使問題簡化.

解:7.1146-(-9)+(-3)-3-2+2.8854

=(7.1146+2.8854)+[ 9+ (-3)]+[(-3)+(-2)]

=10+6+(-5)=10.

三、分離整數後分別相加

例3 計算-4-(+7)-(-13)+(-3)-5.26+10.26 .

分析:帶分數相加,可把整數與分數分離後,把它們的整數部分與分數部分(或小數部分)分別結合相加.

解:-4-(+7)-(-13)+(-3)-5.26+10.26

=-4-7+13-3-5.26+10.26

=(-4-7+13-3-5+10)+(--+-)-0.26+0.26

=4+(-+)=4+(-1)=2.

四、同分母或便於通分的分數分別相加

例4計算-+-2+---.

分析:整體通分計算,運算量大,可將同分母或便於通分的分數分別相加.

解:-+-2+---

=(-+)+(--)+(-2-)

=--3=-3.

五、和為整數的數結合相加

例5計算(-3)+(+15.8)+(-16)-0.75+(-5)+(+4)

分析:根據算式的結構特徵,可將和為整數的數結合相加.

解:(-3)+(+15.8)+(-16)-0.75+(-5)+(+4)

=(-3-16)+(15.8-5)+(-0.75+4)

=-20+10+4=-6.

六、和為零的數結合相加

例6計算1-2-3+4+5-6-7+8+…+20xx-2006-20xx+2008-20xx+2010

分析:逐項運算,顯然不可取,若根據算式的結構特徵,將和為零的數結合相加,就可以巧妙地解答題目.

解:1-2-3+4+5-6-7+8+…+20xx-2006-20xx+2008-20xx+2010

=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(20xx-2006-20xx+2008)+(-20xx+2010)

=0+0+…+0+1=1.

七、去掉絕對值符號後再結合相加

例7計算|-1|+|-|+|-|+…+|-|

分析:若先算出絕對值符號內各式的值,再去絕對值符號,然後進行運算,費時費力,故應該先確定絕對值符號內各式的正負,再去絕對值符號,然後再結合相加.

解:|-1|+|-|+|-|+…+|-|

=(1-)+(-)+(-)+…+(-)

=1+(-)+(-)+…+(-)-

=1-=.

八、先“借”後“還”

例8計算

11+192+1993+19994+199995+1999996+19999997+199999998.

分析:由於數值較大,直接計算,容易出錯,我們可以先分別“借”來9,8,7,6,5,4,3,2,再“還”9,8,7,6,5,4,3,2,這樣運算量就小多了.

解:11+192+1993+19994+199995+1999996+19999997+199999998

=(11+9)+(192+8)+(1993+7)+(19994+6)+(199995+5) +(1999996+4)+ (19999997+3)+ (199999998+2)-(9+8+7+6+5+4+3+2)

=222222220-44=222222176.

九、拆分組合

例9計算 199+298+397+…+991+1090+1189+…+9802+9901.

分析:這道題加數多,數值大,直接計算比較困難,若根據算式特徵,拆分組合,可將計算過程簡化.

解:199+298+397+…+991+1090+1189+…+9802+9901

=(100+200+300+…+9900)+(99+98+98+…+2+1)

=00+

=495000+4950=499950.

練習:

1. 計算(+ )+(-3.5)+(-6)+(+1.5)+(+6)+(+ ).

2. 計算20xx-2007-20xx+2009.

3. 計算-1-2+4-5+1-10.8.

答案:1.-1;2.-;3.-14.