上班試用第一天是否就應該簽訂勞動合同了？

上班試用第一天是否就應該簽訂勞動合同了？如果不籤，口頭約定試用期一個月，沒有雙方的.書面約定，過完試用期沒幾天員工就辭職了，也沒有轉正的任何書面審批，過完試用期的幾天如果公司以不符合轉正條件是否合適？如果員工以不籤勞動合同投訴，勞動稽查部門會怎麼處理?